Question

【题目】如图，在一张矩形纸片 ABCD中，AB＝3，点P，Q分别是AB和CD的中点，现将这张纸片折叠，使点D落到PQ上的点G处，折痕为CH，若HG的延长线恰好经过点B，则AD的长为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

先判断出BG＝HG，进而判断出∠BCG＝∠HCG，即得出∠DCH＝∠GCH＝∠BCG＝∠BCD＝30°，即：△BCH是等边三角形，即可得出AD＝BC＝BH，在最后用勾股定理求出BH即可得出结论．

∵P，Q是矩形ABCD的边AB，CD的中点，

∴AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，PQ//AD，

∵点B，G，H在同一条直线上，且点P是AB的中点，

∴BG＝HG（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分另一边），

由折叠知，∠CGH＝∠CGB＝∠D＝90°，

∴CH＝CB，

∵∠CGH＝90°，

∴∠BCG＝∠HCG，

由折叠知，∠DCH＝∠HCG，即：∠DCH＝∠GCH＝∠BCG＝∠BCD＝30°，

∴∠BCH＝60°，

∵CH＝CB，

∴△BCH是等边三角形，

∴∠CBH＝60°，BC＝BH，即：AD＝BC＝BH，

在Rt△ABH中，∠ABH＝∠ABC﹣∠CBH＝30°，AB＝3，

设AH＝x，则BH＝2x，

根据勾股定理得，BH2﹣AH2＝AB2，

即：4x2﹣x2＝9，

∴x＝，

∴BH＝2x＝2，

即：AD＝BC＝BH＝2，

故答案为2．