Question

【题目】如图，双曲线y1＝与直线y2＝的图象交于A、B两点．已知点A的坐标为（4，1），点P（a，b）是双曲线y1＝上的任意一点，且0＜a＜4．

（1）分别求出y1、y2的函数表达式；

（2）连接PA、PB，得到△PAB，若4a＝b，求三角形ABP的面积；

（3）当点P在双曲线y1＝上运动时，设PB交x轴于点E，延长PA交x轴于点F，判断PE与PF的大小关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）双曲线y1＝；直线为y2＝x；（2）15；（3）PE＝PF，理由见解析．

【解析】

(1)根据待定系数法即可求得；
(2)由P(，)在的图象上，得到，再根据即可求得，根据题意求得B(，)，过点P作PQ∥y轴交AB于点G，易得G(1，)，即可求得PG=，然后根据三角形面积公式即可求得；
(3)P是双曲线上的点，得出P(，)，然后根据待定系数法求得直线PB的解析式，进而求得E点的坐标为(，0)，同理F点的坐标为(，0)，它们到H点的距离相等，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得PE=PF．

(1)把点A(4，1)代入双曲线得，

∴双曲线的解析式为；

把点A(4，1)代入直线得，

∴直线的解析式为；

(2)∵点P(，)在的图象上，

∴，

∵，

∴，则，

∵，

∴，

∴点P的坐标为(1，4)，

又∵双曲线与直线的图象交于A、B两点，且点A的坐标为(4，1)，

∴点B的坐标为(，)，

过点P作PG∥y轴交AB于点G，如图所示，

把代入，得到，

∴点G的坐标为(1，)，

∴PG，

∴PG(；

(3)PE=PF．理由如下：

∵点P(，)在的图象上，

∴，

∵点B的坐标为(，)，

设直线PB的表达式为，

∴，

∴，

∴直线PB的表达式为，

当时，，

∴E点的坐标为(，0)，

同理：直线PA的表达式为，

当时，，

∴F点的坐标为(，0)，

过点P作PH⊥x轴于H，如图所示，

∵P点坐标为(，)，

∴H点的坐标为(，0)，

∴EH，

FH，

∴EH=FH，

∴PE=PF．