【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A(﹣1,0),B(m,0)两点,与y轴相交于点C(0,﹣3),抛物线的顶点为D.
(1)求B、D两点的坐标;
(2)若P是直线BC下方抛物线上任意一点,过点P作PH⊥x轴于点H,与BC交于点M,设F为y轴一动点,当线段PM长度最大时,求PH+HF+CF的最小值;
(3)在第(2)问中,当PH+HF+CF取得最小值时,将△OHF绕点O顺时针旋转60°后得到△OH′F′,过点F′作OF′的垂线与x轴交于点Q,点R为抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点S,使得点D、Q、R、S为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点S的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)B(3,0),D(1,﹣4);(2);(3)存在,S的坐标为(3,0)或(﹣1,﹣2)或(﹣1,2)或(﹣1,﹣)
【解析】
(1)将A(﹣1,0)、C(0,﹣3)代入y=x2+bx+c,待定系数法即可求得抛物线的解析式,再配方即可得到顶点D的坐标,根据y=0,可得点B的坐标;
(2)根据BC的解析式和抛物线的解析式,设P(x,x2﹣2x﹣3),则M(x,x﹣3),表示PM的长,根据二次函数的最值可得:当x=时,PM的最大值,此时P(,﹣),进而确定F的位置:在x轴的负半轴了取一点K,使∠OCK=30°,过F作FN⊥CK于N,当N、F、H三点共线时,如图2,FH+FN最小,即PH+HF+CF的值最小,根据含30°角的直角三角形的性质,即可得结论;
(3)先根据旋转确定Q的位置,与点A重合,根据菱形的判定画图,分4种情况讨论:分别以DQ为边和对角线进行讨论,根据菱形的边长相等和平移的性质,可得点S的坐标.
(1)把A(﹣1,0),点C(0,﹣3)代入抛物线y=x2+bx+c,得:
,解得:,
∴抛物线的解析式为:y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴顶点D(1,﹣4),
当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,解得:x=3或﹣1,
∴B(3,0);
(2)∵B(3,0),C(0,﹣3),
设直线BC的解析式为:y=kx+b,
则 ,解得:,
∴直线BC的解析式为:y=x﹣3,
设P(x,x2﹣2x﹣3),则M(x,x﹣3),
∴PM=(x﹣3)﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x=﹣(x﹣)2+,
当x=时,PM有最大值,此时P(,﹣),
在x轴的负半轴了取一点K,使∠OCK=30°,过F作FN⊥CK于N,
∴FN=CF,
当N、F、H三点共线时,如图1,FH+FN最小,即PH+HF+CF的值最小,
∵Rt△OCK中,∠OCK=30°,OC=3,
∴OK=,
∵OH=,
∴KH=+,
∵Rt△KNH中,∠KHN=30°,
∴KN=KH=,
∴NH=KN=,
∴PH+HF+CF的最小值=PH+NH==;
(3)Rt△OFH中,∠OHF=30°,OH=,
∴OF=OF'=,
由旋转得:∠FOF'=60°
∴∠QOF'=30°,
∴在Rt△QF'O中,QF'=OF'÷=÷=,OQ=2QF'=2×=1,
∴Q与A重合,即Q(﹣1,0)
分4种情况:
①如图2,以QD为边时,由菱形和抛物线的对称性可得S(3,0);
②如图3,以QD为边时,
由勾股定理得:AD=,
∵四边形DQSR是菱形,
∴QS=AD=2,QS∥DR,
∴S(﹣1,﹣2);
③如图4,同理可得:S(﹣1,2);
④如图5,作AD的中垂线,交对称轴于R,可得菱形QSDR,
∵A(﹣1,0),D(1,﹣4),
∴AD的中点N的坐标为(0,﹣2),且AD=2,
∴DN=,
cos∠ADR=,
∴DR=,
∴QS= DR=,
∴S(﹣1,﹣);
综上,S的坐标为(3,0)或(﹣1,﹣2)或(﹣1,2)或(﹣1,﹣).
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【题目】若整数a使关于x的分式方程=2有整数解,且使关于x的不等式组至少有4个整数解,则满足条件的所有整数a的和是( )
A.﹣14B.﹣17C.﹣20D.﹣23
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【题目】已知:△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C,记旋转角为α,当90°<α<180°时,作A′D⊥AC,垂足为D,A′D与B′C交于点E.
(1)如图1,当∠CA′D=15°时,作∠A′EC的平分线EF交BC于点F.
①写出旋转角α的度数;
②求证:EA′+EC=EF;
(2)如图2,在(1)的条件下,设P是直线A′D上的一个动点,连接PA,PF,若AB=,求线段PA+PF的最小值.(结果保留根号)
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【题目】如图,抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1,A2,A3…An,将抛物线y=x2沿直线L:y=x向上平移,得到一系列抛物线,且满足下列条件:①抛物线的顶点M1,M2,M3,…Mn都在直线L:y=x上;②抛物线依次经过点A1,A2,A3…An,则顶点M2020的坐标为_____.
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【题目】如图,将小正方形AEFG绕大正方形ABCD的顶点A顺时针旋转一定的角度α(其中0°≤α≤90°),连接BG、DE相交于点O,再连接AO、BE、DG.王凯同学在探究该图形的变化时,提出了四个结论:
①BG=DE;②BG⊥DE;③∠DOA=∠GOA;④S△ADG=S△ABE,其中结论正确的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】某地2016年为做好“精准扶贫”,投入资金1000万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加,2018年在2016年的基础上增加投入资金1250万元.
(1)从2016年到2018年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?
(2)在2018年异地安置的具体实施中,该地计划投入资金不低于400万元用于优先搬迁租房奖励,规定前1000户(含第1000户)每户每天奖励8元,1000户以后每户每天补助5元,按租房400天计算,试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励?
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC分别交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)若AC=8,CE=4,求弧BD的长.(结果保留π)
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【题目】如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,D为BC边上一点,(不与点B、C)重合,将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接EC,则∠ACE的度数是__________,线段AC,CD,CE之间的数量关系是_______________.
(2)2,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC边上一点(不与点B、C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,请写出∠ACE的度数及线段AD,BD,CD之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图3,在Rt△DBC中,DB=3,DC=5,∠BDC=90°,若点A满足AB=AC,∠BAC=90°,请直接写出线段AD的长度.
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【题目】下面是小飞设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.
已知:P为⊙O外一点.
求作:经过点P的⊙O的切线.
作法:如图,
①连接OP,作线段OP的垂直平分线交OP于点A;
②以点A为圆心,OA的长为半径作圆,交⊙O于B,C两点;
③作直线PB,PC.所以直线PB,PC就是所求作的切线.
根据小飞设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明(说明:括号里填写推理的依据).
证明:连接,,
∵为⊙的直径,
∴ ( ).
∴,.
∴,为⊙的切线( ).
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