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【题目】如图,已知抛物线yx2+bx+cx轴相交于A(﹣10),Bm0)两点,与y轴相交于点C0,﹣3),抛物线的顶点为D

1)求BD两点的坐标;

2)若P是直线BC下方抛物线上任意一点,过点PPHx轴于点H,与BC交于点M,设Fy轴一动点,当线段PM长度最大时,求PH+HF+CF的最小值;

3)在第(2)问中,当PH+HF+CF取得最小值时,将△OHF绕点O顺时针旋转60°后得到△OHF,过点FOF的垂线与x轴交于点Q,点R为抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点S,使得点DQRS为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点S的坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】1B30),D1,﹣4);(2;(3)存在,S的坐标为(30)或(﹣1,﹣2)或(﹣12)或(﹣1,﹣

【解析】

1)将A(﹣10)、C0,﹣3)代入yx2+bx+c,待定系数法即可求得抛物线的解析式,再配方即可得到顶点D的坐标,根据y0,可得点B的坐标;

2)根据BC的解析式和抛物线的解析式,设Pxx22x3),则Mxx3),表示PM的长,根据二次函数的最值可得:当x时,PM的最大值,此时P,﹣),进而确定F的位置:在x轴的负半轴了取一点K,使∠OCK30°,过FFNCKN,当NFH三点共线时,如图2FH+FN最小,即PH+HF+CF的值最小,根据含30°角的直角三角形的性质,即可得结论;

3)先根据旋转确定Q的位置,与点A重合,根据菱形的判定画图,分4种情况讨论:分别以DQ为边和对角线进行讨论,根据菱形的边长相等和平移的性质,可得点S的坐标.

(1)把A(﹣10),点C0,﹣3)代入抛物线yx2+bx+c,得:

,解得:

∴抛物线的解析式为:yx22x3=(x124

∴顶点D1,﹣4),

y0时,x22x30,解得:x3或﹣1

B30);

2)∵B30),C0,﹣3),

设直线BC的解析式为:ykx+b

,解得:

∴直线BC的解析式为:yx3

Pxx22x3),则Mxx3),

PM=(x3)﹣(x22x3)=﹣x2+3x=﹣(x2+

x时,PM有最大值,此时P,﹣),

x轴的负半轴了取一点K,使∠OCK30°,过FFNCKN

FNCF

NFH三点共线时,如图1FH+FN最小,即PH+HF+CF的值最小,

RtOCK中,∠OCK30°OC3

OK

OH

KH+

RtKNH中,∠KHN30°

KNKH

NHKN

PH+HF+CF的最小值=PH+NH

3RtOFH中,∠OHF30°OH

OFOF'

由旋转得:∠FOF'60°

∴∠QOF'30°,

∴在RtQF'O中,QF'OF'÷=÷OQ=2QF'=2×=1,

QA重合,即Q(﹣10

4种情况:

①如图2,以QD为边时,由菱形和抛物线的对称性可得S30);

②如图3,以QD为边时,

由勾股定理得:AD

∵四边形DQSR是菱形,

QSAD2QSDR

S(﹣1,﹣2);

③如图4,同理可得:S(﹣12);

④如图5,作AD的中垂线,交对称轴于R,可得菱形QSDR

A(﹣10),D1,﹣4),

AD的中点N的坐标为(0,﹣2),且AD2

DN

cosADR

DR

QS= DR

S(﹣1,﹣);

综上,S的坐标为(30)或(﹣1,﹣2)或(﹣12)或(﹣1,﹣).

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根据小飞设计的尺规作图过程,

(1)使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明(说明:括号里填写推理的依据).

证明:连接,,

为⊙的直径,

).

,

,为⊙的切线( ).

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