【题目】如图,抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1,A2,A3…An,将抛物线y=x2沿直线L:y=x向上平移,得到一系列抛物线,且满足下列条件:①抛物线的顶点M1,M2,M3,…Mn都在直线L:y=x上;②抛物线依次经过点A1,A2,A3…An,则顶点M2020的坐标为_____.
【答案】(4039,4039)
【解析】
根据抛物线的解析式结合整数点的定义,找出点An的坐标为(n,n2),设点Mn的坐标为(a,a),则以点Mn为顶点的抛物线解析式为y=(x-a)2+a,由点An的坐标利用待定系数法,即可求出a值,将其代入点Mn的坐标即可得出结论.
∵抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1,A2,A3,…,An,…,
∴点An的坐标为(n,n2).
设点Mn的坐标为(a,a),则以点Mn为顶点的抛物线解析式为y=(x﹣a)2+a,
∵点An(n,n2)在抛物线y=(x﹣a)2+a上,
∴n2=(n﹣a)2+a,解得:a=2n﹣1或a=0(舍去),
∴Mn的坐标为(2n﹣1,2n﹣1),
∴M2020的坐标为(4039,4039).
故答案为:(4039,4039).
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【题目】如图①抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴,y轴分别交于点A(﹣1,0),B(4,0),点C三点.
(1)试求抛物线的解析式;
(2)点D(3,m)在第一象限的抛物线上,连接BC,BD.试问,在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足∠PBC=∠DBC?如果存在,请求出点P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点N在抛物线的对称轴上,点M在抛物线上,当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点M的坐标.
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【题目】有两个不透明的袋子,甲袋子里装有标有两个数字的张卡片,乙袋子里装有标有三个数字的张卡片,两个袋子里的卡片除标有的数字不同外,其大小质地完全相同.
(1)从乙袋里任意抽出一张卡片,抽到标有数字的概率为 .
(2)求从甲、乙两个袋子里各抽一张卡片,抽到标有两个数字的卡片的概率.
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【题目】如图在△ABC中∠A=60°,BM⊥AC于点M,CN⊥AC于点N,P为BC边的中点,连接PM,PN,则下列结论:①PM=PN;②;③△PMN为等边三角形;④当∠ABC=45°时,BN=BC,其中正确的是( )
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
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【题目】已知点A(﹣3,y1),B(﹣2,y2),C(3,y3)都在反比例函数y=(k<0)的图象上,则( )
A.y1<y2<y3B.y3<y2<y1C.y3<y1<y2D.y2<y1<y3
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【题目】(10分)如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.
(1)问题发现
① 当时,;② 当时,
(2)拓展探究
试判断:当0°≤α<360°时,的大小有无变化?请仅就图2的情况给出证明.
(3)问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时,直接写出线段BD的长.
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【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A(﹣1,0),B(m,0)两点,与y轴相交于点C(0,﹣3),抛物线的顶点为D.
(1)求B、D两点的坐标;
(2)若P是直线BC下方抛物线上任意一点,过点P作PH⊥x轴于点H,与BC交于点M,设F为y轴一动点,当线段PM长度最大时,求PH+HF+CF的最小值;
(3)在第(2)问中,当PH+HF+CF取得最小值时,将△OHF绕点O顺时针旋转60°后得到△OH′F′,过点F′作OF′的垂线与x轴交于点Q,点R为抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点S,使得点D、Q、R、S为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点S的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,将抛物线平移后,新抛物线经过原抛物线的顶点,新抛物线与轴正半轴交于点,联结,,设新抛物线与轴的另一交点是,新抛物线的顶点是.
(1)求点的坐标;
(2)设点在新抛物线上,联结,如果平分,求点的坐标;
(3)在(2)的条件下,将抛物线沿轴左右平移,点的对应点为,当和相似时,请直接写出平移后得到抛物线的表达式.
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【题目】已知:抛物线与轴分别交于点A(-3,0),B(m,0).将y1向右平移4个单位得到y2.
(1)求b的值;
(2)求抛物线y2的表达式;
(3)抛物线y2与轴交于点D,与轴交于点E、F(点E在点F的左侧),记抛物线在D、F之间的部分为图象G(包含D、F两点),若直线与图象G有一个公共点,请结合函数图象,求直线与抛物线y2的对称轴交点的纵坐标t的值或取值范围.
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