Question

【题目】如图，将小正方形AEFG绕大正方形ABCD的顶点A顺时针旋转一定的角度α（其中0°≤α≤90°），连接BG、DE相交于点O，再连接AO、BE、DG．王凯同学在探究该图形的变化时，提出了四个结论：

①BG＝DE；②BG⊥DE；③∠DOA＝∠GOA；④S△ADG＝S△ABE，其中结论正确的个数有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

由“SAS”可证△DAE≌△BAG，可得BG＝DE，即可判断①；设点DE与AB交于点P， 由∠ADE＝∠ABG，∠DPA＝∠BPO，即可判断②；过点A作AM⊥DE，AN⊥BG，易证DE×AM＝×BG×AN，从而得AM＝AN，进而即可判断③；过点G作GH⊥AD，过点E作EQ⊥AD，由“AAS”可证△AEQ≌△GAH，可得AQ＝GH，可得S△ADG＝S△ABE，即可判断④．

∵∠DAB＝∠EAG＝90°，

∴∠DAE＝∠BAG，

又∵AD＝AB，AG＝AE，

∴△DAE≌△BAG（SAS），

∴BG＝DE，∠ADE＝∠ABG，

故①符合题意，

如图1，设点DE与AB交于点P，

∵∠ADE＝∠ABG，∠DPA＝∠BPO，

∴∠DAP＝∠BOP＝90°，

∴BG⊥DE，

故②符合题意，

如图1，过点A作AM⊥DE，AN⊥BG，

∵△DAE≌△BAG，

∴S△DAE＝S△BAG，

∴DE×AM＝×BG×AN，

又∵DE＝BG，

∴AM＝AN，且AM⊥DE，AN⊥BG，

∴AO平分∠DOG，

∴∠AOD＝∠AOG，

故③符合题意，

如图2，过点G作GH⊥AD交DA的延长线于点H，过点E作EQ⊥AD交DA的延长线于点Q，

∴∠EAQ+∠AEQ＝90°，∠EAQ+∠GAQ＝90°，

∴∠AEQ＝∠GAQ，

又∵AE＝AG，∠EQA＝∠AHG＝90°，

∴△AEQ≌△GAH（AAS）

∴AQ＝GH，

∴AD×GH＝AB×AQ，

∴S△ADG＝S△ABE，

故④符合题意，

故选：D．