Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD＝4，sin∠AOD＝，且点B的坐标为（n，﹣2）．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）请直接写出满足kx+b＞的x的取值范围；

（3）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣，y＝﹣x+1；（2）x＜﹣3或0＜x＜6；（3）点P的坐标为P（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0，）

【解析】

（1）先利用三角函数求出OD，得出点A坐标，进而求出反比例函数解析式，进而求出点B坐标，将点A，B坐标代入直线解析式中，建立方程组，求解即可得出结论；

（2）根据图象直接得出结论；

（3）设出点E坐标，进而表示出AE，OE，再分OA=OE，OA=AE，OE=AE三种情况，建立方程求解即可得出结论．

∵AD⊥x轴，

∴∠ADO＝90°，

在Rt△AOD中，AD＝4，

∴sin∠AOD＝＝＝，

∴OA＝5，根据勾股定理得，OD＝3，

∵点A在第二象限，

∴A（﹣3，4），

∵点A在反比例函数y＝的图象上，

∴m＝﹣3×4＝﹣12，

∴反比例函数解析式为y＝﹣，

∵点B（n，﹣2）在反比例函数y＝﹣上，

∴﹣2n＝﹣12，

∴n＝6，

∴B（6，﹣2），

∵点A（﹣3，4），B（6，﹣2）在直线y＝kx+b上，

∴，

∴，

∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1；

（2）由图象知，满足kx+b＞的x的取值范围为x＜﹣3或0＜x＜6；

（3）设点E的坐标为（0，a），

∵A（﹣3，4），O（0，0），

∴OE＝|a|，OA＝5，AE＝，

∵△AOE是等腰三角形，

∴①当OA＝OE时，|a|＝5，

∴a＝±5，

∴P（0，5）或（0，﹣5），

②当OA＝AE时，5＝，

∴a＝8或a＝0（舍），

∴P（0，8），

③当OE＝AE时，|a|＝，

∴a＝，

∴P（0，），

即：满足条件的点P的坐标为P（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0，）．