【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC分别交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)若AC=8,CE=4,求弧BD的长.(结果保留π)
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)连接OD,由OA=OD知∠OAD=∠ODA,由AD平分∠EAF知∠DAE=∠DAO,据此可得∠DAE=∠ADO,继而知OD∥AE,根据AE⊥EF即可得证;
(2)作OG⊥AE,知AG=CG=AC=4,证四边形ODEG是矩形,得出OA=OB=OD=CG+CE=4,再证△ADE∽△ABD得AD2=192,据此得出BD的长及∠BAD的度数,利用弧长公式可得答案.
(1)证明:连接OD,如图1所示:
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AD平分∠EAF,
∴∠DAE=∠DAO,
∴∠DAE=∠ADO,
∴OD∥AE,
∵AE⊥EF,
∴OD⊥EF,
∴EF是⊙O的切线;
(2)解:作OG⊥AE于点G,连接BD,如图2所示:
则AG=CG=AC=4,∠OGE=∠E=∠ODE=90°,
∴四边形ODEG是矩形,
∴OA=OB=OD=CG+CE=4+4=8,∠DOG=90°,
∴AB=2OA=16,
∵AC=8,CE=4,
∴AE=AC+CE=12,
∵∠DAE=∠BAD,∠AED=∠ADB=90°,
∴△ADE∽△ABD,
∴,即,
∴,
在Rt△ABD中,,
在Rt△ABD中,∵AB=2BD,
∴∠BAD=30°,
∴∠BOD=60°,
则弧BD的长度为=.
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【题目】学校为了解九年级学生对“八礼四仪”的掌握情况,对该年级的500名同学进行问卷测试,并随机抽取了10名同学的问卷,统计成绩如下:
得分 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 |
人数 | 3 | 3 | 2 | 1 | 1 |
(1)计算这10名同学这次测试的平均得分;
(2)如果得分不少于9分的定义为“优秀”,估计这 500名学生对“八礼四仪”掌握情况优秀的人数;
(3)小明所在班级共有40人,他们全部参加了这次测试,平均分为7.8分.小明的测试成绩是8分,小明说,我的测试成绩在班级中等偏上,你同意他的观点吗?为什么?
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【题目】已知点A(﹣3,y1),B(﹣2,y2),C(3,y3)都在反比例函数y=(k<0)的图象上,则( )
A.y1<y2<y3B.y3<y2<y1C.y3<y1<y2D.y2<y1<y3
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【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A(﹣1,0),B(m,0)两点,与y轴相交于点C(0,﹣3),抛物线的顶点为D.
(1)求B、D两点的坐标;
(2)若P是直线BC下方抛物线上任意一点,过点P作PH⊥x轴于点H,与BC交于点M,设F为y轴一动点,当线段PM长度最大时,求PH+HF+CF的最小值;
(3)在第(2)问中,当PH+HF+CF取得最小值时,将△OHF绕点O顺时针旋转60°后得到△OH′F′,过点F′作OF′的垂线与x轴交于点Q,点R为抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点S,使得点D、Q、R、S为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点S的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,矩形纸片ABCD,将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP>AM),点A和点B都与点E重合;再将△CQD沿DQ折叠,点C落在线段EQ上点F处.
(1)判断△AMP,△BPQ,△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形?(不需说明理由)
(2)如果AM=1,sin∠DMF=,求AB的长.
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【题目】如图,将抛物线平移后,新抛物线经过原抛物线的顶点,新抛物线与轴正半轴交于点,联结,,设新抛物线与轴的另一交点是,新抛物线的顶点是.
(1)求点的坐标;
(2)设点在新抛物线上,联结,如果平分,求点的坐标;
(3)在(2)的条件下,将抛物线沿轴左右平移,点的对应点为,当和相似时,请直接写出平移后得到抛物线的表达式.
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【题目】如图,Rt△ABC内接于⊙O,∠BCA=90°,∠CBA=60°,AB=10,点D是AB边上(异于点A,B)的一动点,DE⊥AB交⊙O于点E,交AC于点G,交切线CF于点F.
(1)求证:FC=CG;
(2)①当AE= 时,四辺形BOEC为菱形;
②当AD= 时,OG∥CF.
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【题目】某校开设了:篮球,:足球,:跳绳,:健美操四种体育活动,为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况,在全校范围内随机抽取若干名学生,进行问卷调查(每个被调查的同学必须选择而且只能在4中体育活动中选择一种).将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图(未画完整).
(1)这次调查中,一共查了 名学生;
(2)请补全两幅统计图;
(3)若有3名最喜欢足球运动的学生,1名最喜欢跳绳运动的学生组队外出参加一次联谊互动,欲从中选出2人担任组长(不分正副),求两人均是最喜欢足球运动的学生的概率.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC.
(1)若以点A为圆心的圆与边BC相切于点D,请在下图中作出点D;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若该圆与边AC相交于点E,连接DE,当∠BAC=100°时,求∠AED的度数.
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