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【题目】将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开,得到图①中的两张三角形胶片.将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合,把绕点B顺时针方向旋转,这时ACDF相交于点O.

(1)当旋转至如图②位置,点B(E),C,D在同一直线上时,∠AFD∠DCA的数量关系是

(2)当继续旋转至如图③位置时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.

(3)在图③中,连接BO,AD,探索BOAD之间有怎样的位置关系,并证明.

【答案】1AFD=DCA(或相等);(2)AFD=DCA(或成立);(3)BOAD

【解析】

(1)要证∠AFD=∠DCA只需证△ABC≌△DEF即可

(2)结论成立先证△ABC≌△DEF再证△ABF≌△DEC得∠BAF=∠EDC推出∠AFD=∠DCA

(3)BOAD由△ABC≌△DEFBABDBAD的垂直平分线上且∠BAD=∠BDA继而证得∠OAD=∠ODAOAODOAD的垂直平分线上BOAD

1)∠AFD=∠DCA.证明如下

ABDEBCEF,∠ABC=∠DEF,∴△ABC≌△DEF,∴∠ACB=∠DFE,∴∠AFD=∠DCA

(2)∠AFD=∠DCA(或成立)理由如下

(1)得:△ABC≌△DEF,∴ABDEBCEF,∠ABC=∠DEF,∠BAC=∠EDF,∴∠ABC﹣∠CBF=∠DEF﹣∠CBF,∴∠ABF=∠DEC

在△ABF和△DEC中,∵,∴△ABF≌△DEC(SAS),∠BAF=∠EDC,∴∠BAC﹣∠BAF=∠EDF﹣∠EDCFAC=∠CDF

∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA,∴∠AFD=∠DCA

(3)如图BOAD证明如下

由△ABC≌△DEFB与点E重合得∠BAC=∠BDFBABD∴点BAD的垂直平分线上且∠BAD=∠BDA

∵∠OAD=∠BAD﹣∠BAC,∠ODA=∠BDA﹣∠BDF,∴∠OAD=∠ODA,∴OAODOAD的垂直平分线上∴直线BOAD的垂直平分线BOAD

练习册系列答案
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【题目】如图①,点在一条直线上,,过分别作,若.

1)求证:.

2)若将的边沿方向移动得到图②,其他条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请说明理由.

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【题目】在学校开展的数学活动课上,小明和小刚制作了一个正三楼锥(质量均匀,四个面完全相同),并在各个面上分别标记数字1,2,3,4,游戏规则如下每人投掷三棱锥两次,并记录底面的数字,如果两次所掷数字的和为单数,那么算小明赢,如果两欢所掷数字的和为偶数,那么算小明赢;

(1)请用列表或者面树状围的方法表示上述游戏中的所有可能结果.

(2)请分别隶出小明和小刚能赢的概率,并判新游戏的公平性.

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【题目】数学问题:计算(其中m,n都是正整数,且m2,n1).

探究问题:为解决上面的数学问题,我们运用数形结合的思想方法,通过不断地分割一个面积为1的正方形,把数量关系和几何图形巧妙地结合起来,并采取一般问题特殊化的策略来进行探究.

探究一:计算

1次分割,把正方形的面积二等分,其中阴影部分的面积为

2次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续二等分,阴影部分的面积之和为+

3次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续二等分,…;

n次分割,把上次分割图中空白部分的面积最后二等分,所有阴影部分的面积之和为++++,最后空白部分的面积是

根据第n次分割图可得等式: ++++=1﹣

探究二:计算++++

1次分割,把正方形的面积三等分,其中阴影部分的面积为

2次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续三等分,阴影部分的面积之和为+

3次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续三等分,…;

n次分割,把上次分割图中空白部分的面积最后三等分,所有阴影部分的面积之和为++++,最后空白部分的面积是

根据第n次分割图可得等式: ++++=1﹣

两边同除以2,得++++=

探究三:计算++++

(仿照上述方法,只画出第n次分割图,在图上标注阴影部分面积,并写出探究过程)

解决问题:计算++++

(只需画出第n次分割图,在图上标注阴影部分面积,并完成以下填空)

根据第n次分割图可得等式:_________

所以, ++++=________

拓广应用:计算 ++++

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【题目】由一些大小相同,棱长为1的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示,数字表示该位置的正方体个数.

(1)请画出它的主视图和左视图;

(2)给这个几何体喷上颜色(底面不喷色),需要喷色的面积为

(3)在不改变主视图和俯视图的情况下,最多可添加 块小正方体.

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【题目】如图,直角坐标系中,在边长为1的正方形网格中,△AOB的顶点均在格点上,点AB的坐标分别是A(3,1),B(2,3).

(1)请在图中画出△AOB关于y轴的对称△AOB′,点A′的坐标为  ,点B′的坐标为  

(2)请写出A′点关于x轴的对称点A′'的坐标为  

(3)求△AOB′的面积.

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【题目】如图,在ABC和DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使ABC≌△DEC,不能添加的一组条件是( )

A.BC=EC,B=E

B.BC=EC,AC=DC

C.AC=DC,B=E

D.B=E,BCE=ACD

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【题目】小张同学尝试运用课堂上学到的方法,自主研究函数y=的图象与性质.下面是小张同学在研究过程中遇到的几个问题,现由你来完成:

(1)函数y=自变量的取值范围是   

(2)下表列出了yx的几组对应值:

x

﹣2

m

1

2

y

1

4

4

1

表中m的值是   

(3)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出以表中各组对应值为坐标的点,试由描出的点画出该函数的图象;

(4)结合函数y=的图象,写出这个函数的性质:   .(只需写一个)

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【题目】(已知:如图,AB为⊙O的直径,AC、BC为弦,点P上一点,AB=10,AC:BC=3:4.

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