Question

【题目】如图，边长为6的正方形中，分别是上的点，，为垂足．

（1）如图①， AF=BF，AE=2，点T是射线PF上的一个动点，则当△ABT为直角三角形时，求AT的长；

（2）如图②，若，连接，求证：．

Answer 1

【答案】(1) 3或3或3;(2)见解析.

【解析】分析：（1）解Rt△BAE，由tan∠ABE==，得出∠ABE=30°．然后分三种情况进行讨论：①当点T在AB的上方，∠ATB=90°时，显然点T和点P重合，易求AT=AP=AB=3；②当点T在AB的下方，∠ATB=90°时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得TF=BF=AF=3，而∠BFT=60°，那么 △FTB是等边三角形，TB=3，再根据勾股定理求出AT==3；

③当点T在AB的下方，∠ABT=90°时．在Rt△ATB中利用勾股定理求出AT；

（2）先证明∠1=∠3=∠4，由tan∠1=，tan∠3=，得出=，等量代换得到=．再证明△PBC∽△PAF，得出∠5=∠6，进而可得∠5+∠7=90°，即∠CPF=90°，那么CP⊥FP．

详解：（1）在正方形ABCD中，可得∠DAB=90°．

∵在Rt△BAE中，tan∠ABE===，∴∠ABE=30°．

点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，分三种情况：

①当点T在AB的上方，∠ATB=90°，显然此时点T和点P重合，即AT=AP=AB=3；

②当点T在AB的下方，∠ATB=90°，如图①所示．

在Rt△APB中，由AF=BF，可得：AF=BF=PF=3，∴∠BPF=∠FBP=30°，∴∠BFT=60°．

在Rt△ATB中，TF=BF=AF=3，∴△FTB是等边三角形，∴TB=3，AT==3；

③当点T在AB的下方，∠ABT=90°时，如图②所示．

在Rt△FBT中，∠BFT=60°，BF=3，BT=BFtan60°=3．

在Rt△ATB中：AT==3．

综上所述：当△ABT为直角三角形时，AT的长为3或3或3；

（2）如图③所示．

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC，AD∥BC，∠DAB=90°，∴∠3=∠4．

∵在Rt△EAB中，AP⊥BE，∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴∠1=∠3=∠4．

∵tan∠1=，tan∠3==．

∵AE=AF，AB=BC，∴=．

在△PBC和△PAF中，∵，∠4=∠1，∴△PBC∽△PAF，∴∠5=∠6．

∵∠6+∠7=90/span>°，∴∠5+∠7=90°，即∠CPF=90°，∴CP⊥FP．