Question

【题目】如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点H，连接DH，下列结论正确的是（　　）

①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG：S△HBG=tan∠DAG ⑤线段DH的最小值是2﹣2

A. ①②⑤ B. ①③④⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

首先证明△ABE≌△DCF，△ADG≌△CDG（SAS），△AGB≌△CGB，利用全等三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°.

∵在△ABE和△DCF中，AB=CD，∠BAD=∠ADC，AE=DF，

∴△ABE≌△DCF，

∴∠ABE=∠DCF.

∵在△ADG和△CDG中，AD=CD，∠ADB=∠CDB，DG=DG，

∴△ADG≌△CDG，

∴∠DAG=∠DCF，

∴∠ABE=∠DAG.

∵∠DAG+∠BAH=90°，

∴∠BAE+∠BAH=90°，

∴∠AHB=90°，

∴AG⊥BE，故③正确，

同理可证：△AGB≌△CGB.

∵DF∥CB，

∴△CBG∽△FDG，

∴△ABG∽△FDG，故①正确.

∵S△HDG:S△HBG=DG:BG=DF:BC=DF:CD=tan∠FCD，∠DAG=∠FCD，

∴S△HDG:S△HBG=tan∠FCD=tan∠DAG，故④正确.

取AB的中点O，连接OD、OH.

∵正方形的边长为4，

∴AO=OH=×4=2，

由勾股定理得，OD=，

由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，

DH最小=2-2．

无法证明DH平分∠EHG，故②错误，

故①③④⑤正确.

故选B.