Question

【题目】如图，⊙O的直径AB⊥弦CD，垂足为点E，点P在优弧CAD上（不包含点C和点D），连PC、PD、CB，tan∠BCD=．

（1）求证：AE=CD；

（2）求sin∠CPD．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接AD，根据垂径定理得出CE=DE=CD，然后你赶紧圆周角定理和三角函数即可求得结论；

（2）作直径CF，连接FD，根据圆周角定理和已知条件求得AB=CD，即可求得=，得出sin∠CFD=，进而求得sin∠CPD=．

（1）连接AD．

∵tan∠BCD=，∠BAD=∠BCD，∴tan∠BAD=，∴=，∴DE=AE．

∵⊙O的直径AB⊥弦CD，垂足为点E，∴CE=DE=CD，∴AE=CD；

（2）作直径CF，连接FD，∴∠CDF=90°．

∵tan∠BCD=，AB⊥弦CD，∴CE=2BE．

∵AE=CD，∴AB=CD，∴=．

∵CF=AB，∴=，∴sin∠CFD=．

∵∠CFD=∠CPD，∴sin∠CPD=．