【题目】已知点O在△ABC内,且知OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,过O作直线EF分别交AB、AC于E、F.
(1)如图1,已知EF∥BC.
①若∠A=76°,请直接写出∠BOE+∠COF的度数;
②猜想∠BOE、∠COF与∠A之间有怎样的数量关系?写出结论,不用证明
(2)直线EF绕点O旋转到如图2的位置时(EF与BC不平行),那么上面(1)②中猜想的结论还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
(3)当直线EF绕点O旋转到如图3的位置时(点E在AB的延长线上),请直接写出∠BOE、∠COF与∠A之间的数量关系.
【答案】(1)①52°;②∠BOE+∠COF=90°﹣∠A,理由见解析;(2)成立,理由见解析;(3)∠COF﹣∠BOE=90°﹣∠A
【解析】
(1)①根据平行线的性质和三角形内角和定理进行计算;
②用①中的方法进行推导,同样依据平行线的性质和三角形内角和定理得出角的关系;
(2)根据三角形内角和定理以及平角的性质即可证得∠BOE+∠COF=90°-∠A;
(3)根据三角形内角和定理以及平角的定义即可证得∠COF-∠BOE=90°-∠A.
(1)①如图1,∵EF∥BC,
∴∠BOE=∠1,∠COF=∠2,
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB
∴∠1+∠2=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=(180°﹣∠A)=90°﹣∠A,
∴∠BOE+∠COF=∠1+∠2=90°﹣∠A=90°﹣=52°;
②猜想∠BOE+∠COF=90°﹣∠A,
证明:∵EF∥BC,
∴∠BOE=∠1,∠COF=∠2,
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB
∴∠1+∠2=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=(180°﹣∠A)=90°﹣∠A,
∴∠BOE+∠COF=∠1+∠2=90°﹣∠A;
(2)成立.
证明:如图2,∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,
∴∠1+∠2=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=(180°﹣∠A)=90°﹣∠A
∵∠BOE+∠COF+∠3=∠1+∠2+∠3=180°
∴∠BOE+∠COF=∠1+∠2=90°﹣∠A;
(3)解:如图3,∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,
∴∠BOC=180°﹣∠ABC+∠ACB=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=(180°﹣∠A)=90°+∠A,
∵∠BOC﹣∠BOE+∠COF=180°,
∴∠COF﹣∠BOE=180°﹣∠BOC=180°﹣(90°+∠A)=90°﹣∠A;
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【题目】车间有20名工人,某天他们生产的零件个数统计如下表.
车间20名工人某一天生产的零件个数统计表
生产零件的个数(个) | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 15 | 16 | 19 | 20 |
工人人数(人) | 1 | 1 | 6 | 4 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 |
(1)求这一天20名工人生产零件的平均个数;
(2)为了提高大多数工人的积极性,管理者准备实行“每天定额生产,超产有奖”的措施.如果你是管理者,从平均数、中位数、众数的角度进行分析,你将如何确定这个“定额”?
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【题目】如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.
(1)求证:△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.
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【题目】某市长途客运站每天6:30—7:30开往某县的三辆班车票价相同,但车的舒适程度不同.小张和小王因事需在这一时段乘车去该县,但不知道三辆车开来的顺序,两人采用不同的乘车方案:小张无论如何决定乘坐开来的第一辆车,而小王则是先观察后上车,当第一辆车开来时,他不上车,而是仔细观察车的舒适状况.若第二辆车的状况比第一辆车好,他就上第二辆车;若第二辆车不如第一辆车,他就上第三辆车.若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等,请你思考并回答下列问题:
(1)三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能?
(2)请列表分析哪种方案乘坐优等车的可能性大?为什么?
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【题目】如图,已知△CAD与△CEB都是等边三角形,BD、EA的延长线相交于点F.
(1)求证:△ACE≌△DCB.
(2)求∠F的度数.
(3)若AD⊥BD,请直接写出线段EF与线段BD、DF之间的数量关系.
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【题目】如图,在边长为4的正方形ABCD中,E、F是AD边上的两个动点,且AE=FD,连接BE、CF、BD,CF与BD交于点H,连接DH,下列结论正确的是( )
①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG:S△HBG=tan∠DAG ⑤线段DH的最小值是2﹣2
A. ①②⑤ B. ①③④⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④
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【题目】“端午节”是我国的传统佳节,民间历来有吃“粽子”的习俗.我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽(以下分别用A、B、C、D表示)这四种不同口味粽子的喜爱情况,在节前对某居民区市民进行了抽样调查,并将调查情况绘制成如下两幅统计图(尚不完整).
请根据以上信息回答:
(1)本次参加抽样调查的居民有多少人?
(2)将两幅不完整的图补充完整;
(3)求扇形统计图中C所对圆心角的度数;
(4)若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个,煮熟后,小王吃了两个.用列表或画树状图的方法,求他第二个吃到的恰好是C粽的概率.
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【题目】武汉二中广雅中学为了了解全校学生的课外阅读的情况,随机抽取了部分学生进行阅读时间调查,现将学生每学期的阅读时间m分成A、B、C、D四个等级(A等:90≤m≤100,B等:80≤m<90,C等:60≤m<80,D等:m<60;单位:小时),并绘制出了如图的两幅不完整的统计图,根据以上信息,回答下列问题:
(1)C组的人数是 人,并补全条形统计图.
(2)本次调查的众数是 等,中位数落在 等.
(3)国家规定:“中小学每学期的课外阅读时间不低于60小时”,如果该校今年有3500名学生,达到国家规定的阅读时间的人数约有 人.
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【题目】如图:
(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1;
(2)请计算△ABC的面积;
(3)直接写出△ABC关于x轴对称的三角形△A2B2C2的各点坐标.
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