Question

【题目】如图，BD是⊙O的直径，弦AC平分∠BCD，若四边形ABCD的面积为2，则AC＝_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

设BC=a，CD=b，根据圆周角定理得到∠BAD=∠BCD=90°，根据勾股定理得到BD= ，推出△ABD是等腰直角三角形，根据四边形的面积列方程得到a+b=2（负值舍去），过B作BE⊥AC于E，过D作DF⊥AC于F，得到△CBE和△CDF是等腰直角三角形，求得BE=BC=a，DF=CD=b，于是得到结论．

解：设BC＝a，CD＝b，

∵BD是⊙O的直径，

∴∠BAD＝∠BCD＝90°，

∴BD＝，

∵AC平分∠BCD，

∴ ，∠ACB＝∠ACD＝45°，

∴AB＝AD，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝（）×（）+ab＝（a2+b2）+ab＝（a+b）2＝2，

∴a+b＝（负值舍去），

过B作BE⊥AC于E，过D作DF⊥AC于F，

则△CBE和△CDF是等腰直角三角形，

∴，，

∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝ACBE+ACDF＝（BE+CF）AC，

∴AC＝2，

故答案为：2．