Question

17．已知：A=$\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$，B=$\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}$，C=$\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}$，且a+b=c，求A²⁰¹³+B²⁰¹³+C²⁰¹³的值．

Answer 1

分析 根据a+b=c，可以得到a、b、c之间的关系，从而可以对A=$\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$，B=$\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}$，C=$\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}$进行化简求值，进而求得A²⁰¹³+B²⁰¹³+C²⁰¹³的值．

解答 解：∵a+b=c，
∴c-a=b，c-b=a，
∴A=$\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$=$\frac{{{b^2}+（c+a）（c-a）}}{2bc}$=$\frac{{{b^2}+b（c+a）}}{2bc}$=$\frac{b+c+a}{2c}$=$\frac{2c}{2c}$=1，
B=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{（a+b）（a-b）+{c}^{2}}{2ac}$=$\frac{c（a-b）+{c}^{2}}{2ac}=\frac{a-b+c}{2a}=\frac{2a}{2a}=1$，
C=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{{a}^{2}-（c+b）（c-b）}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}-a（c+b）}{2ab}=\frac{a-c-b}{2b}=\frac{-2b}{2b}=-1$，
∴A²⁰¹³+B²⁰¹³+C²⁰¹³
=1²⁰¹³+1²⁰¹³+（-1）²⁰¹³
=1+1-1
=1．

点评 本题考查分式的混合运算，解题的关键是能根据a+b=c，对A、B、C进行化简求值，从而建立与A²⁰¹³+B²⁰¹³+C²⁰¹³的关系，需要注意的是对C的化简．