Question

2．已知平行四边形ABCD中，对角线AC垂直于边AB，AB=1，平行四边形ABCD的面积为$\sqrt{3}$，点P为直线BC上一点，若点P到直线AC的距离是$\frac{1}{4}$，则PB的长是$\frac{3}{2}$或$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 分两种情况：①点P在BC边上时，作PM⊥AC于M，则PM=$\frac{1}{4}$，由平行四边形的面积求出AC=$\sqrt{3}$，由勾股定理求出BC=2，证明△CPM∽△CBA，得出对应边成比例求出CP，即可得出PB的长；②当P在射线BC上时，同①得：CP=$\frac{1}{2}$，PB=AB+CP，即可得出结果．

解答 解：分两种情况：
①点P在BC边上时，如图1所示：
作PM⊥AC于M，则PM=$\frac{1}{4}$，
∵AC⊥AB，
∴PM∥AB，
∵平行四边形ABCD的面积=AB×AC=$\sqrt{3}$，AB=1，
∴AC=$\sqrt{3}$，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=2，
∵PM∥AB，
∴△CPM∽△CBA，
∴$\frac{PM}{AB}=\frac{CP}{BC}$，
即$\frac{\frac{1}{4}}{1}=\frac{CP}{2}$，
解得：CP=$\frac{1}{2}$，
∴PB=BC-CP=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$；
②当P在射线BC上时，如图2所示：
同①得：CP=$\frac{1}{2}$，
∴PB=AB+CP=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$；
综上所述：PB的长为$\frac{3}{2}$或$\frac{5}{2}$；
故答案为：$\frac{3}{2}$或$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似求出CP是解决问题的关键．