Question

9．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）如图，若A，B两点的坐标分别是A（0，4），B（-2，0），求C点的坐标．
（2）如图，点P是射线BA上A点右边一动点，以CP为斜边作等腰直角△CPF，其中∠F=90°，点Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点，若点P运动时，点Q是否恒在∠ABC的平分线上？若在，请说明，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）要求点C坐标，作CM⊥AO，只要利用全等三角形的性质求出OM、CM即可．
（2）要证明点Q是否恒在∠ABC的平分线上，只要证明QM=QN，只要证明△MFQ≌△NGQ即可．

解答 （1）解：如图1中，作CM⊥OA垂足为M，
∵∠AOB=∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAM=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAM，
在△ABO和△CAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠CAM}\\{∠AOB=∠AMC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CAM，
∴MC=AO=4，AM=BO=2，MO=AO-AM=2，
∴点C坐标（4，2）．
（2）结论：点Q是否恒在∠ABC的平分线上，理由如下：
如图2中作QE⊥PF，QG⊥FC，QF⊥BC，QM⊥BP，QN⊥BC，垂足分别为E、G、F、M、N．
在四边形QMBN中，∵∠QMB=∠QNB=90°，
∴∠MQN=180°-∠ABC=135°，
同理可证：∠FQG=135°，
∴∠MQN=∠FQG，
∴∠MQF=∠GQN，
∵PQ平分∠FPC，QF平分∠PFC，QE⊥PF，QF⊥PC，QG⊥FC，
∴QE=QF=QG，∠QPF=$\frac{1}{2}$∠CPF=22.5°，
∵∠PMQ=∠PFQ=90°，
∴M、F、Q、P四点共圆，
∴∠FMP=∠FPQ=22.5°，同理∠QNG=22.5°，
∴∠FMQ=∠QNG，
在△MFQ和△NGQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FMQ=∠QNG}\\{∠MQF=∠NQG}\\{QF=QG}\end{array}\right.$，
∴△MFQ≌△NGQ，
∴QM=QN，∵QM⊥BP，QN⊥BC，
∴BQ平分∠ABC，
∴点Q是否恒在∠ABC的平分线上．

点评 本题考查全等三角形的判定或性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质、四点共圆等知识，关键是构造全等三角形，过点Q向两边作垂线是证明角平分线的常用手段．