Question

4．如图，正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，连接BE，过点C作CF⊥BE于F，连接OF，已知EF=1，则OF的长为3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先在BE上截取BG=CF，连接OG，证明△OBG≌△OCF，则可证得△OFG是等腰直角三角形，设CE=x，利用勾股定理可得BE的长，由射影定理列方程，求得EF与CF的长，继而求得FG的长，则可求得答案．

解答 解：如图，在BE上截取BG=CF，连接OG，
∵Rt△BCE中，CF⊥BE，
∴∠EBC=∠ECF，
∵∠OBC=∠OCD=45°，
∴∠OBG=∠OCF，
在△OBG与△OCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠OBG=∠OCF}\\{BG=CF}\end{array}\right.$，
∴△OBG≌△OCF（SAS），
∴OG=OF，∠BOG=∠COF，BG=CF，
∴OG⊥OF，
设CE=x，则DE=2EC=2x，
∴BC=CD=3x，
在Rt△BCE中，
∴BE=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$x，
∵EF=1，
∵CE²=EF•BE，
∴x²=$\sqrt{10}$x，
∴x=$\sqrt{10}$，
∴CE=$\sqrt{10}$，BF=BE-EF=10-1=9，
∵CF²=BF•EF=9，
∴CF=3，
∴BG=3，
∴FG=BE-BG-EF=10-3-1=6，
∴OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FG=3$\sqrt{2}$．
故答案为：3$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及射影定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．