Question

19．如图，在边长为6$\sqrt{2}$的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，过点C作EG的垂线CH，垂足为点H，连接BH，BH=8．有下列结论：
①∠CBH=45°；②点H是EG的中点；③EG=4$\sqrt{10}$；④DG=2$\sqrt{2}$
其中，正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 连接CG，作HF⊥BC于F，HO⊥AB于O，证明△CBE≌△CDG，得到△ECG是等腰直角三角形，证明∠GEC=45°，根据四点共圆证明①正确；根据等腰三角形三线合一证明②正确；根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出EG的长，得到③正确；求出BE的长，根据DG=BE，求出BE证明④正确．

解答 解：连接CG，作HF⊥BC于F，HO⊥AB于O，
在△CBE和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CD}\\{∠CBE=∠CDG}\\{BE=DG}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△CDG，
∴EC=GC，∠GCD=∠ECB，
∵∠BCD=90°，
∴∠ECG=90°，
∴△ECG是等腰直角三角形，
∵∠ABC=90°，∠EHC=90°，
∴E、B、C、H四点共圆，
∴∠CBH=∠GEC=45°，①正确；
∵CE=CG，CH⊥EG，
∴点H是EG的中点，②正确；
∵∠HBF=45°，BH=8，
∴FH=FB=4$\sqrt{2}$，又BC=6$\sqrt{2}$，
∴FC=2$\sqrt{2}$，
∴CH=$\sqrt{H{F}^{2}+F{C}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴EG=2CH=4$\sqrt{10}$，③正确；
∵CH=2$\sqrt{10}$，∠HEC=45°，
∴EC=4$\sqrt{5}$，
∴BE=$\sqrt{E{C}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴DG=2$\sqrt{2}$，④正确，
故选：D．

点评 本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理的运用，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质证明三角形全等是解题的关键．