Question

12．问题情境
如图1，在△AOB与△DOE中，∠AOB=∠DOE=90°，OA=OB，OD=OE，当点D，E分别在△AOB的边OA，OB上时，结论（1）AD=BE和（2）AD⊥BE都成立．
问题探究
如图2，若当点D，E不在△AOB的边OA，OB上时，上述结论是否成立？理由．
问题延伸
如图3，将问题情境中的条件，∠AOB=∠DOE=90°换为∠AOB=∠DOE=40°，且点D，E不在△AOB的边OA，OB上时，上述结论是否成立？理由．

Answer 1

分析 （1）根据△AOD≌△BOE即可得到AD=BE，要证明BE⊥AD，在对顶△AKM和△BKO中利用对应角相等即可证明．
（2）利用全等三角形可以证明结论（1）成立，根据对顶△AKM和△BKO可以证明∠AMB=40°即结论不成立．

解答 （1）解：如图2中，结论仍然成立．理由如下：
延长BE交AO于K、交AD于M．
∵∠DOE=∠AOB=90°，
∴∠AOD=∠BOE，
在△AOD和△BOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OE}\\{∠AOD=∠BOE}\\{AO=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△BOE，
∴AD=BE，∠DAO=∠OBE，
∵∠OBE+∠OKB=90°，∠OKB=∠AKM，
∴∠DAO+∠AKM=90°，
∴∠AMK=90°，
∴BE⊥AD，BE=AD．
（2）如图3中，结论（1）AD=EB成立，结论（2）AD⊥BE不成立．
证明：∵∠AOB=∠DOE=40°，
在△AOD和△BOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OE}\\{∠AOD=∠BOE}\\{AO=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△BOE，
∴AD=BE，∠DAO=∠OBE，
∵∠AKM=∠OKB，
∴∠AMB=∠AOB=40°，
∴BE和AD不垂直．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等角的余角相等等知识，寻找全等三角形是解决问题的关键，掌握从特殊到一般的推理方法，理解形变而结论不变的思想．