练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    13．如图，在平面直角坐标系中，△CDE的顶点C点坐标为C（1，-2），点D的横坐标为$\frac{19}{5}$，将△CDE绕点C旋转到△CBO，点D的对应点B在x轴上．抛物线y=ax2+bx+c以点C为顶点，且经过点B，它与x轴的另一个交点为点A．
    （1）图中，∠OCE=∠BCD；
    （2）求抛物线的解析式；
    （3）抛物线上是否存在点P，使S△PAE=$\frac{1}{2}$S△CDE？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）根据旋转的性质易得∠OCE=∠BCD；
    （2）作CH⊥OE于H，如图，根据旋转的性质得CO=CE，CB=CD，OB=DE，则利用等腰三角形的性质得OH=HE=1，则E点坐标为（2，0），设B（m，0），D（$\frac{19}{5}$，n），利用两点间的距离公式得CD2=（1-$\frac{19}{5}$）2+（-2-n）2，CB2=（1-m）2+22，DE2=（2-$\frac{19}{5}$）2+n2，所以（1-$\frac{19}{5}$）2+（-2-n）2=（1-m）2+22，（2-$\frac{19}{5}$）2+n2=m2，解关于m、n的方程组得到m=3，n=-$\frac{12}{5}$，则B（3，0），然后设顶点式y=a（x-1）2-2，再把B点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
    （3）先利用抛物线的对称性得到A（-1，0），再根据旋转的性质得△CDE≌△CBO，则S△CDE=S△CBO=3，设P（t，$\frac{1}{2}$t2-t-$\frac{3}{2}$），利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•3•|$\frac{1}{2}$t2-t-$\frac{3}{2}$|=$\frac{1}{2}$•3，则$\frac{1}{2}$t2-t-$\frac{3}{2}$=1或$\frac{1}{2}$t2-t-$\frac{3}{2}$=-1，然后分别解关于t的一元二次方程求出t，从而可得到满足条件的P点坐标．

    解答 解：（1）∵△CDE绕点C旋转到△CBO，
    ∴∠OCE=∠BCD；
    故答案为BCD；
    （2）作CH⊥OE于H，如图，
    ∵△CDE绕点C旋转到△CBO，
    ∴CO=CE，CB=CD，OB=DE，
    ∴OH=HE=1，
    ∴OE=2，
    ∴E点坐标为（2，0），
    设B（m，0），D（$\frac{19}{5}$，n），
    ∵CD2=（1-$\frac{19}{5}$）2+（-2-n）2，CB2=（1-m）2+22，DE2=（2-$\frac{19}{5}$）2+n2，
    ∴（1-$\frac{19}{5}$）2+（-2-n）2=（1-m）2+22，（2-$\frac{19}{5}$）2+n2=m2，
    ∴m=3，n=-$\frac{12}{5}$，
    ∴B（3，0），
    设抛物线解析式为y=a（x-1）2-2，
    把B（3，0）代入得4a-2=0，解得a=$\frac{1}{2}$，
    ∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-1）2-2，即y=$\frac{1}{2}$x2-x-$\frac{3}{2}$；
    （3）存在．
    A与点B关于直线x=1对称，
    ∴A（-1，0），
    ∵△CDE绕点C旋转到△CBO，
    ∴△CDE≌△CBO，
    ∴S△CDE=S△CBO=$\frac{1}{2}$•2•3=3，
    设P（t，$\frac{1}{2}$t2-t-$\frac{3}{2}$），
    ∵S△PAE=$\frac{1}{2}$S△CDE，
    ∴$\frac{1}{2}$•3•|$\frac{1}{2}$t2-t-$\frac{3}{2}$|=$\frac{1}{2}$•3，
    ∴$\frac{1}{2}$t2-t-$\frac{3}{2}$=1或$\frac{1}{2}$t2-t-$\frac{3}{2}$=-1，
    解方程$\frac{1}{2}$t2-t-$\frac{3}{2}$=1得t1=1+$\sqrt{6}$，t2=1-$\sqrt{6}$，此时P点坐标为（1+$\sqrt{6}$，1）或（1-$\sqrt{6}$，1）；
    解方程$\frac{1}{2}$t2-t-$\frac{3}{2}$=-1得t1=1+$\sqrt{2}$，t2=1-$\sqrt{2}$，此时P点坐标为（1+$\sqrt{2}$，-1）或（1-$\sqrt{2}$，-1）；
    综上所述，满足条件的P点坐标为（1+$\sqrt{6}$，1）或（1-$\sqrt{6}$，1）或（1+$\sqrt{2}$，-1）或（1-$\sqrt{2}$，-1）．

    点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和旋转的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    3．如图，二次函数y=-x2-2x的图象与x轴交于点A，O，在抛物线上有一点P，满足S△AOP=3，则点P的坐标是（1，-3）或（-3，-3）．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    4．如图，△ABC中，E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且满足$\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FC}=\frac{2}{3}$，则S△ABC：S△EFD=25：6．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    1．读取表格中的信息，解决问题：
    n=1a1=$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$ b1=$\sqrt{3}$+2 c1=1+2$\sqrt{2}$
    n=2a2=b1+2c1 b2=c1+2a1 c2=a1+2b1
    n=3a3=b2+2c2 b3=c2+2a2 c3=a2+2b2
    …………
    （1）计算：a1+b1+c1=3$\sqrt{2}$+3$\sqrt{3}$+3；
    （2）满足$\frac{{{a_n}+{b_n}+{c_n}}}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}≥81（\sqrt{3}-\sqrt{2}+1）$的n可以取得的最小正整数是4．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    8．如图，AC=AD，线段AB经过线段CD的中点E，求证：BC=BD．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    18．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，b）（b
    ＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连结PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为a．
    （1）当b=3时，若点P′的坐标是（-1，m），求m的值；
    （2）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D，当P′D：P′C=1：4时，求a的值；
    （3）s是否同时存在a、b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    5．如图所示的几何体是由七个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是（　　）
    A．B．C．D．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    12．问题情境
    如图1，在△AOB与△DOE中，∠AOB=∠DOE=90°，OA=OB，OD=OE，当点D，E分别在△AOB的边OA，OB上时，结论（1）AD=BE和（2）AD⊥BE都成立．
    问题探究
    如图2，若当点D，E不在△AOB的边OA，OB上时，上述结论是否成立？理由．
    问题延伸
    如图3，将问题情境中的条件，∠AOB=∠DOE=90°换为∠AOB=∠DOE=40°，且点D，E不在△AOB的边OA，OB上时，上述结论是否成立？理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    13．如图，四边形OABC放置在平面直角坐标系中，AB∥CO，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，反比例函数y=$\frac{k}{x}（{k＞0，x＞0}）$的图象经过AB的中点D，并且与CB交于点E，已知$\frac{CE}{CB}=\frac{1}{3}，OC=\frac{7}{2}$．则AB的长等于（　　）
    A．2.5B．2C．1.5D．1

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案