Question

4．如图，△ABC中，E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且满足$\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FC}=\frac{2}{3}$，则S_△ABC：S_△EFD=25：6．

Answer 1

分析 先设△AEF的高是h，△ABC的高是h′，由于$\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FC}=\frac{2}{3}$，根据比例性质易得$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$=$\frac{2}{5}$，而∠A=∠A，易证△AEF∽△ABC，从而易得h′=3h，那么△DEF的高就是2h，再设△AEF的面积是s，EF=a，由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，那么S_△AEF：S_△ABC=4：25，于是S_△ABC=25s，根据三角形面积公式易求S_△DEF=2s，从而易求S_△DEF：S_△ABC的值．

解答 解：设△AEF的高是h，△ABC的高是h′，
∵$\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$=$\frac{2}{5}$，
又∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{h}{h′}$=$\frac{2}{5}$，$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AE}{AB}$）²=（$\frac{2}{5}$）²=$\frac{4}{25}$，
∴h′=$\frac{5}{2}$h，
∴△DEF的高=$\frac{3}{2}$h，
设△AEF的面积是4s，EF=a，
∴S_△ABC=25s，
∵S_△DEF=$\frac{1}{2}$•EF•$\frac{3}{2}$h=$\frac{3}{4}$ah=6s，
∴S_△ABC：S_△EFD=25：6．
故答案是：25：6．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是先证明△AEF∽△ABC，并注意相似三角形高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．