Question

15．在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y=x²+（k-1）x+2k-1的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求这个二次函数的解析式及A、B两点的坐标；
（2）若直线l：y=ax（a≠0）与线段BC交于点D（点D与B、C不重合），则是否存在这样的直线l，使得以B、O、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出该直线的函数解析式及点D的坐标；若不存在，求说明理由．

Answer 1

分析 （1）先把C点代入y=x²+（k-1）x+2k-1可求出k=1，从而得到抛物线解析式为y=x²-2x-3；再利用抛物线与x轴的交点问题，通过解方程x²-2x-3=0可得A点坐标为（-1，0），B（3，0）；
（2）先利用待定系数法确定直线BC的解析式为y=x-3，设D（t，t-3）（0＜t＜3），再计算出BC=3$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{2}$（3-t），AB=4，由于∠OBD=∠ABC，根据相似三角形的判定，当$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BO}{BA}$时，△BDO∽△BCA，即$\frac{\sqrt{2}（t-3）}{3\sqrt{2}}$=$\frac{3}{4}$；当$\frac{BD}{BA}$=$\frac{BO}{BC}$时，△BDO∽△BAC，即$\frac{（3-t）\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3}{3\sqrt{2}}$，然后分别解关于t的方程求出t，从而得到对应的D点坐标，再把D点坐标代入y=ax求出对应的a的值，于是可确定对应的直线解析式．

解答 解：（1）把C（0，-3）代入y=x²+（k-1）x+2k-1得2k-1=-3，解得k=1，
所以抛物线解析式为y=x²-2x-3；
当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
所以A点坐标为（-1，0），B（3，0）；
（2）存在．
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把B（3，0），C（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{n=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
所以直线BC的解析式为y=x-3，
设D（t，t-3）（0＜t＜3），BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{（t-3）^{2}+（t-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$（3-t），
AB=3-（-1）=4，OB=3，
∵∠OBD=∠ABC，
∴当$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BO}{BA}$时，△BDO∽△BCA，即$\frac{\sqrt{2}（t-3）}{3\sqrt{2}}$=$\frac{3}{4}$，解得t=$\frac{3}{4}$，
当$\frac{BD}{BA}$=$\frac{BO}{BC}$时，△BDO∽△BAC，即$\frac{（3-t）\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3}{3\sqrt{2}}$，解得t=1，
当t=$\frac{3}{4}$时，D点坐标为（$\frac{3}{4}$，-$\frac{9}{4}$），把D（$\frac{3}{4}$，-$\frac{9}{4}$）代入y=ax得$\frac{3}{4}$a=-$\frac{9}{4}$，解得a=-3，此时直线解析式为y=-3x；
当t=1时，D点坐标为（1，-2），把D（1，-2）代入y=ax得a=-2，此时直线解析式为y=-2x．
综上所述，当直线解析式为y=-3x时，D点坐标为（$\frac{3}{4}$，-$\frac{9}{4}$）；当直线解析式为y=-2x时，D点坐标为（1，-2）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握相似三角形的判定方法和抛物线与x轴的交点问题；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．