Question

6．如图，二次函数y=-x²+2x+3的图象与x轴交于点A和点B，顶点为C，AC与y轴交于点D，则$\frac{OD}{AD}$=（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． 2
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先求出抛物线与x轴交点A、B以及顶点D的坐标，再求出直线AC即可解决求出点D坐标，最后利用勾股定理求出线段AD即可．

解答 解：二次函数y=-x²+2x+3的图象与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），顶点C（1，4），
设直线AC为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以直线AC为y=2x+2，
∵x=0时，y=2，
∴点D（0，2），
 在RT△AOD中，∵OD=2，AO=1，
∴AD=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{OD}{AD}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故选A．

点评 本题考查二次函数有关性质、勾股定理等知识，掌握求抛物线与坐标轴的交点以及顶点坐标是解决问题的关键．