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【题目】如图,在矩形ABCD中,过BD的中点OEFBD,分别与ABCD交于点EF.连接DEBF.

1)求证:四边形BEDF是菱形;

2)若MAD中点,联结OMDE交于点NAD=OM=4,则ON的长是多少?

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】

1)先证明四边形BEDF是平行四边形,当EFBD时,四边形BEDF是菱形,根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形证明即可;

2)根据中位线的定义与性质,得到边ONAE的关系,在RtDAE中利用勾股定理列出等式,即可求出ON.

解:(1)当EFBD时,四边形BEDF是菱形,
理由如下:
∵四边形ABCD是矩形,
ADBC
∴∠DEO=OFB

EDO=OBF
OBD的中点

OB=OD

∴△EOD≌△FOB
EO=FO

又∵OB=OD

∴四边形BEDF是平行四边形
EFBD
∴四边形BEDF是菱形;

2)∵MAD中点,OD=OB

MO是△ABD的中位线

MOAB

MO=AB

ON是△DEB的中位线

ON=EB

AD=OM=4

AB=2MO=8

ON=x,EB=2x,AE=AB-EB=8-2x,DE=EB=2x.

RtDAE中,由勾股定理得:

解得:

综上所得ON的长是.

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(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动,分别交x轴于点E,交CD于点F,交AC于点M,交抛物线于点P,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示PM的长;

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小明根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小明的探究过程,请补充完整:

1)确定自变量x的取值范围是   

2)通过取点、画图、测量、分析,得到了xy的几组值,如表:

x/cm

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

y/cm2

4.0

3.7

3.9

3.8

3.3

2.0

(说明:补全表格时相关数值保留一位小数)

3)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;

4)结合画出的函数图象,解决问题:当DEF面积最大时,AE的长度为   cm

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1)求抛物线的解析式;

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