【题目】如图,在矩形ABCD中,过BD的中点O做EF⊥BD,分别与AB、CD交于点E、F.连接DE、BF.
(1)求证:四边形BEDF是菱形;
(2)若M是AD中点,联结OM与DE交于点N,AD=OM=4,则ON的长是多少?
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)先证明四边形BEDF是平行四边形,当EF⊥BD时,四边形BEDF是菱形,根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形证明即可;
(2)根据中位线的定义与性质,得到边ON与AE的关系,在Rt△DAE中利用勾股定理列出等式,即可求出ON.
解:(1)当EF⊥BD时,四边形BEDF是菱形,
理由如下:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠DEO=∠OFB,
∠EDO=∠OBF,
∵O是BD的中点
∴OB=OD
∴△EOD≌△FOB,
∴EO=FO,
又∵OB=OD
∴四边形BEDF是平行四边形
∵EF⊥BD,
∴四边形BEDF是菱形;
(2)∵M是AD中点,OD=OB
∴MO是△ABD的中位线
∴MO∥AB
MO=AB
∴ON是△DEB的中位线
∴ON=EB
∵AD=OM=4
∴AB=2MO=8
设ON=x,则EB=2x,AE=AB-EB=8-2x,DE=EB=2x.
在Rt△DAE中,由勾股定理得:
解得:
综上所得ON的长是.
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【题目】如图,抛物线(a≠0)交x轴于A、B两点,A点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,4),以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动,分别交x轴于点E,交CD于点F,交AC于点M,交抛物线于点P,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示PM的长;
(3)在(2)的条件下,连结PC,则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似?若存在,求出此时m的值,并直接判断△PCM的形状;若不存在,请说明理由。
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【题目】在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,将△ABC绕点A顺时针旋转60°,得到△AED,点B、C的对应点分别是E、D.F为AC的中点,连接BF、DF、BE,DF与EA相交于点G,BE与AC相交于点H.
(1)如图1,求证:四边形BFDE为平行四边形;
(2)如图2,连接CE,在不添加任何辅助线与字母的情况下,请直接写出所有与△AEC全等的三角形.
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【题目】如图,⊙O中,直径CD⊥弦AB于E,AM⊥BC于M,交CD于N,连接AD.
①AD_____AN(填“>”,“=”或“<”);
②AB=8,ON=1,⊙O的半径为_____.
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【题目】如图,已知O是矩形ABCD的对角线的交点,∠AOB=60°,作DE∥AC,CE∥BD,DE、CE相交于点E.四边形OCED的周长是20,则BC=( )
A.5B.5
C.10D.10
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,P是直线y=2上的一个动点,⊙P的半径为1,直线OQ切⊙P于点Q,则线段OQ取最小值时,Q点的坐标为_____.
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【题目】如图,点E是矩形ABCD边AB上一动点(不与点B重合),过点E作EF⊥DE交BC于点F,连接DF,已知AB=4cm,AD=2cm,设A,E两点间的距离为xcm,△DEF面积为ycm2.
小明根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)确定自变量x的取值范围是 ;
(2)通过取点、画图、测量、分析,得到了x与y的几组值,如表:
x/cm | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | … |
y/cm2 | 4.0 | 3.7 | 3.9 | 3.8 | 3.3 | 2.0 | … |
(说明:补全表格时相关数值保留一位小数)
(3)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(4)结合画出的函数图象,解决问题:当△DEF面积最大时,AE的长度为 cm.
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【题目】如图,抛物线经过点A(1,0),B(4,0)与轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAOC的周长最小?若存在,求出四边形PAOC周长的最小值;若不存在,请说明理由.
(3)如图②,点Q是线段OB上一动点,连接BC,在线段BC上是否存在这样的点M,使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形?若存在,求M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知线段AB=12cm,C是线段AB上一定点,且AC=3cm,点D是线段BC上的一个动点,设CD=xcm,以C为中心顺时针旋转线段AC以D为中心,逆时针旋转线段DB,使A、B两点能重合于点E.
(1)当C、D、E三点能构成三角形时,求x的取值范围;
(2)当x为何值时,△CDE是直角三角形?
(3)记△CDE的面积为Scm2,试求出S与x的函数表达式;若△CDE的面积为cm2,试确定此时点D的位置?
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