Question

【题目】如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y= （x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点

（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使kx+b＜ 成立的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵点A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y= （x＞0）的图象上，

∴m=1，n=2， 即A（1，6），B（3，2）． 又∵点A（m，6），B（3，n）两点在一次函数y=kx+b的图象上，

∴ ． 解得 ，
则该一次函数的解析式为：y=﹣2x+3

（2）解：根据图象可知使kx+b＜ 成立的x的取值范围是0＜x＜1或x＞2；

（3）解：分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．

令﹣2x+8=0，得x=4，即D（4，0）．

∵A（1，6），B（3，2）， 则 =4×6÷2-4×2÷2=12-4=8

【解析】 （1）先将点A、B的坐标分别代入反比例函数解析式求出这两点坐标，再利用待定系数法，求出一次函数的解析式。
（2）要求一次函数值小于反比例函数值，要看直线x=1，直线x=3，两条直线将两函数分成三部分，这三部分的自变量的取值范围分别是0＜x＜1、x＞3．1＜＜3，即可观察一次函数图象在反比例函数图象下方时所对应的x的取值范围。
（3）添加辅助线，分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点。先求出点D的坐标，然后根据，即可求出结果。或过点A作AE⊥x轴，交OB于点H,△OAB的面积=△OAH的面积+△HAB的面积.
【考点精析】掌握确定一次函数的表达式和反比例函数的性质是解答本题的根本，需要知道确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大．