Question

6．某山区计划修建一条通过小山的公路，经测量，如图，从山底B到山顶A的坡角是30°，斜坡AB长为100米．根据地形，要求修好的公路路面BD的坡度为i=1：5（假定A，D两点处于同一直线上）．为了减少工程量，若AD≤20米，则直接开挖修建公路；若AD＞20米，就要重新设计．问这段公路是否需要重新设计？

Answer 1

分析 将原题抽象为关于直角三角形ABC和直角三角形DBC的问题进行解答，求出AC的长，再求出AD的长，算出其差，即可判断AD是否大于20米，然后再作判断．

解答 解：在Rt△ABC中，AB=100米，则AC=100×$\frac{1}{2}$=50米，
BC=AB•cos30°=100×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=50$\sqrt{3}$米，
又因为BD的坡度是1：5，
则$\frac{DC}{BC}$=$\frac{1}{5}$，
解得DC=10$\sqrt{3}$米，
于是有AD=AC-DC=50-10$\sqrt{3}$≈32＞20，
∴需要重新设计．

点评 本题考查了解直角三角形的应用--坡度坡角问题，将原问题转化为解直角三角形的问题是解答此类问题的基本思路．