Question

10．在△ABC中，AC=BC，AB=4，tanB=2，D为AC边上的中点，延长BC到点E，使得CE=$\sqrt{5}$，根据题意画出示意图，并求出DE的长．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，进而结合等腰三角形的性质结合锐角三角函数关系得出MC的长，再利用勾股定理得出答案．

解答 解：如图所示：
过点C作CF⊥AB于点F，延长ED交AB于点N，过点C作CM⊥ED于点M，
∵AB=4，
∴AF=BF=2，
∵tanB=2，
∴CF=4，
∴AC=BC=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵D为AC边上的中点，
∴DC=$\sqrt{5}$，
∵EC=$\sqrt{5}$，
∴△CED是等腰三角形，
∵AC=BC，CF⊥AB，
∴∠ACF=∠BCF，
∵EC=DC，
∴∠E=∠EDC，
∵∠E+∠EDC=∠ACF+∠BCF，
∴∠EDC=∠DCF，
∴ED∥FC，
∴∠ENF=90°，
可得四边形CMNF是矩形，
∵DN∥FC，AD=DC，
∴AN=NF=1，
∴MC=1，
∴EM=MD=2，
故DE=4．

点评 此题主要考查了解直角三角以及等腰三角形的性质和矩形的性质，正确得出MC的长是解题关键．