Question

19．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，先证明OD∥AB，则由DF⊥AB可判断DF⊥OD，然后根据切线的判定定理可得直线DF与⊙O相切；
（2）先确定BD=CD=3，再证明△BDE∽△BAC，则利用相似比得到BE：6=3：（BE+7），然后解关于BE的方程即可．

解答 （1）证明：连结OD，如图，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OC=OD，
∴∠1=∠C，
∴∠1=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴DF⊥OD，
∴直线DF与⊙O相切；
（2）解：∵OD∥AB，
而OA=OC，
∴BD=CD=3，
∵∠BED=∠ACB，∠DBE=∠ABC，
∴△BDE∽△BAC，
∴BE：BC=BD：BA，即BE：6=3：（BE+7），
整理得BE²+7BE-18=0，解得BE=2或BE=-9（舍去），
即BE的长为2．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．