Question

4．山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m．

（1）求∠DAC的度数；
（2）求这棵大树折点C到坡面AE的距离．（结果精确到个位，参考数据：$\sqrt{2}$=1.4，$\sqrt{3}$=1.7，$\sqrt{6}$=2.4）

Answer 1

分析 （1）通过延长BA交EF于一点M，则∠CAD=180°-∠BAC-∠EAM即可求得；
（2）作AH⊥CD于H点，作CG⊥AE于G点，先求得CD的长，然后再求得CG的长．

解答 解：（1）延长BA交EF于点M．
在Rt△AME中，∠E=23°，
∴∠MAE=67°．
又∵∠BAC=38°，
∴∠DAC=180°-67°-38°=75°；

（2）作AH⊥CD于H点，作CG⊥AE于G点．
在△ADH中，∠ADC=60°，AD=4，cos∠ADC=$\frac{DH}{AD}$，
∴DH=2．
sin∠ADC=$\frac{AH}{AD}$，
∴AH=2$\sqrt{3}$．
在Rt△ACH中，∠C=180°-75°-60°=45°，
∴CH=AH=2$\sqrt{3}$．
∴CD=DH+CH=2$\sqrt{3}$．
在Rt△CDG中，∠CDG=60°，sin∠CDG=$\frac{CG}{CD}$，∴CG=3+$\sqrt{3}$≈5米．
答：折点C距离坡面AE约为5米．

点评 本题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，但综合性较强，有一定的复杂性．