Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，点G是线段AB上一点，连接CG、DG，满足CG＝CD．

（1）如图1，过点G作GH⊥CD于点H，若AB＝7，GH＝2，求DG；

（2）如图2，若∠DAB＝60°，∠DAB的角平分线交CD于点E，过点E作EF∥AD，满足EF+AG＝AD，连接DF、CF，求证：∠DCF＝∠GCF．

Answer 1

【答案】（1）DG＝2；（2）见解析.

【解析】

（1）由平行四边形的性质和已知条件得出CG=CD=7，由勾股定理得出CH==5，得出DH=CD-CH=2，再由勾股定理即可得出结果；
（2）延长EF交AB于H，连接DH、FG，先证明四边形ADEH是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线证出∠AED=∠DAE，得出AD=ED，证出四边形ADEH是菱形，得出AD=ED=EH=AH，得出△ADH、△DEH是等边三角形，得出∠DHA=∠EDH=∠DEH=60°，DH=AD=DE，证出EF=GH，证明△DEF≌△DHG得出∠EDF=∠HDG，DF=DG，证出∠GDF=60°，得出△GDF是等边三角形，得出DF=GF，再证明△CDF≌△CGF，即可得出∠DCF=∠GCF．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD＝AB＝7，

∵CG＝CD＝7，GH＝2，BH⊥CD，

∴CH＝＝＝5，

∴DH＝CD﹣CH＝2，

∴DG＝＝2；

（2）延长EF交AB于H，连接DH、FG，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠AED＝∠EAB，

∵EF∥AD，

∴四边形ADEH是平行四边形，

∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE＝∠BAE，

∴∠AED＝∠DAE，

∴AD＝ED，

∴四边形ADEH是菱形，

∴AD＝ED＝EH＝AH，

∵∠DAB＝60°，

∴△ADH、△DEH是等边三角形，

∴∠DHA＝∠EDH＝∠DEH＝60°，DH＝AD＝DE，

∵EF+AG＝AD＝AH＝AG+GH，

∴EF＝GH，

在△DEF和△DHG中，

，

∴△DEF≌△DHG（SAS），

∴∠EDF＝∠HDG，DF＝DG，

∴∠HDG+∠FDH＝∠EDF+∠FDH＝∠EDH＝60°，即∠GDF＝60°，

∴△GDF是等边三角形，

∴DF＝GF，

在△CDF和△CGF中，

，

∴△CDF≌△CGF（SSS），

∴∠DCF＝∠GCF．