【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60 cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t秒(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF。
(1)求证:AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;
(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2) 能,理由见解析;(3)见解析.
【解析】分析:(1)利用t表示出CD以及AE的长,然后在直角△CDF中,利用直角三角形的性质求得DF的长,即可证明;
(2)易证四边形AEFD是平行四边形,当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,据此即可列方程求得t的值;
(3)分两种情况讨论即可求解.
详解:(1)∵直角△ABC中,∠C=90°﹣∠A=30°.
∵CD=4t,AE=2t.
又∵在直角△CDF中,∠C=30°,∴DF=CD=2t,∴DF=AE;
(2)∵DF∥AB,DF=AE,∴四边形AEFD是平行四边形,当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,即60﹣4t=2t,解得:t=10,即当t=10时,AEFD是菱形;
(3)分两种情况讨论:
①当∠EDF=90°时,DE∥BC,∴∠ADE=∠C=30°,∴AD=2AE.
∵CD=4t,∴DF=2t=AE,∴AD=4t,∴4t+4t=60,∴t=时,∠EDF=90°.
②当∠DEF=90°时,DE⊥EF.
∵四边形AEFD是平行四边形,∴AD∥EF,∴DE⊥AD,∴△ADE是直角三角形,∠ADE=90°.
∵∠A=60°,∴∠DEA=30°,∴AD=AE,AD=AC﹣CD=60﹣4t,AE=DF=CD=2t,∴60﹣4t=t,解得t=12.
综上所述:当t=或t=12时,△DEF是直角三角形.
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【题目】如图,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C′,且点B刚好落在A′B′上,若∠A=25°,∠BCA′=45°,则∠A′BA等于( )
A.30°
B.35°
C.40°
D.45°
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【题目】某公司专销产品,第一批产品上市40天内全部售完.该公司对第一批产品上市后的市场销售情况进行了跟踪调查,调查结果如图所示,其中图1中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系;图2中的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系.
(1)试写出第一批产品的市场日销售量与上市时间的关系式;
(2)第一批产品上市后,哪一天这家公司市场日销售利润最大?最大利润是多少万元?(说明理由)
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【题目】营市公交公司将淘汰所有线路上“冒黑烟”较严重的公交车,计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆,若购买A型公交车1辆,B型公交车2辆,共需400万元;若购买A型公交车2辆,B型公交车1辆,共需350万元.
(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元?
(2)预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次.若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元,且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于650万人次,则该公司有哪几种购车方案?哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少?
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【题目】小王购买了一套一居室,他准备将房子的地面铺上地砖,地面结构如图所示,根据图中所给的数据(单位:米),解答下列问题:
(1)用含 的代数式表示地面的总面积 ;
(2)已知 ,且客厅面积是卫生间面积的 倍,如果铺 平方米地砖的平均费用为 元,那么小王铺地砖的总费用为多少元?
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【题目】观察某月日历,回答下列问题:
观察图中的阴影部分的个数,你知道他们之间有什么关系吗?写出你认为正确的一个结论;
小强一家外出游玩了天,这天的日期之和是,小强一家几号外出的?
像上面第题那样现在要用一个方框去框该月历上的九个数,这九个数的和可能是吗?如果不能,请说明理由;如果能,请求出框出的这九个数.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠BAE=22.5°,EF⊥AB,垂足为F,则EF的长为( )
A.1
B.
C.4﹣2
D.3﹣4
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【题目】如图,在ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证:AB=CF;
(2)连接DE,若AD=2AB,求证:DE⊥AF.
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【题目】已知A、B、C分别是⊙O上的点,∠B=60°,P是直径CD的延长线上的一点,且AP=AC. 如果AC=3,则PD的长为______________________.
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