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【题目】如图,在RtABC中,∠B=90°,AC=60 cm,A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t(0<t≤15).过点DDFBC于点F,连接DE,EF。

(1)求证:AE=DF;

(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;

(3)t为何值时,DEF为直角三角形?请说明理由.

【答案】(1)证明见解析;(2) 能,理由见解析;(3)见解析.

【解析】分析:1)利用t表示出CD以及AE的长然后在直角△CDF利用直角三角形的性质求得DF的长即可证明

2)易证四边形AEFD是平行四边形AD=AE四边形AEFD是菱形据此即可列方程求得t的值

3)分两种情况讨论即可求解.

详解:(1∵直角△ABCC=90°﹣A=30°.

CD=4tAE=2t

又∵在直角△CDFC=30°,DF=CD=2tDF=AE

2DFABDF=AE∴四边形AEFD是平行四边形AD=AE四边形AEFD是菱形604t=2t解得t=10即当t=10AEFD是菱形

3分两种情况讨论

①当∠EDF=90°DEBC∴∠ADE=C=30°,AD=2AE

CD=4tDF=2t=AEAD=4t4t+4t=60t=EDF=90°.

②当∠DEF=90°DEEF

∵四边形AEFD是平行四边形ADEFDEAD∴△ADE是直角三角形ADE=90°.

∵∠A=60°,∴∠DEA=30°,AD=AEAD=ACCD=604tAE=DF=CD=2t604t=t解得t=12

综上所述t=t=12DEF是直角三角形.

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B.
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