Question

15．如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与底边BC交于M、N两点，且与AB、AC相切于E、F两点，连接AO，与⊙O交于点G，与BC相交于点D．
（1）证明：AD⊥BC；
（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2$\sqrt{3}$，求扇形OEM的面积．

Answer 1

分析 （1）根据切线长定理得到AE=AF，∠EAO=∠FAO，根据等腰三角形的性质得到AD⊥EF，根据三角形的内角和得到∠B=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC），∠AEF=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC），等量代换得到∠AEF=∠B，根据平行线的性质即可得到结论．
（2）由AG等于⊙O的半径，得到AO=2OE，由AB是⊙O的切线，得到∠AEO=90°，根据直角三角形的性质得到∠EAO=30°，根据三角形的内角和得到∠AOE=60°，由垂径定理得到DM=$\frac{1}{2}$MN=$\sqrt{3}$，根据三角函数的定义得到∠MOD=60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AB、AC相切于E、F两点，
∴AE=AF，∠EAO=∠FAO，
∴AD⊥EF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC），
∵AE=AF，
∴∠AEF=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC），
∴∠AEF=∠B，
∴EF∥BC，
∴AD⊥BC；

（2）解：∵AG等于⊙O的半径，
∴AO=2OE，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠AEO=90°，
∴∠EAO=30°，
∴∠AOE=60°，
∵AE=2$\sqrt{3}$，
∴OE=2，
∵OD⊥MN，
∴DM=$\frac{1}{2}$MN=$\sqrt{3}$，
∵OM=2，
∴sin∠MOD=$\frac{DM}{OM}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠MOD=60°，
∴∠EOM=60°，
∴S_扇形EOM=$\frac{60•π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，扇形的面积的计算，平行线的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键．