Question

19．如图，抛物线y=-x²+bx+c交x轴负半轴于点A，交X轴正半轴于点B，交y轴 正半轴于点C，直线BC的解析式为y=kx+3（k≠0 ），∠ABC=45°
（1）求b、c的值；
（2）点P在第一象限的抛物线上，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线BC于点M、N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点E为抛物线的顶点，连接EC、EP、AP，AP交y轴于点D，连接DM，若∠DMB=90°，求四边形CMPE的面积．

Answer 1

分析 （1）在y=kx+3中，令x=0，即可求得C的纵坐标，然后根据△OBC是等腰直角三角形求得B的坐标，利用待定系数法求得b和c的值；
（2）首先求得直线BC的解析式，则可求得P和N的纵坐标，则PN的长即可求得，然后根据△PMN是等腰直角三角形即可表示出MN的长；
（3）延长PM交y轴于点H，延长PN交x轴于点K，过E作EQ⊥y轴于点Q，连接EM，在直角△OAD和直角△KAP中，利用三角函数即可列方程求得t的值，再根据S_{四边形CMPE}=S_△ECM+S_△EMP求解．

解答 解：（1）在y=kx+3中，令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），
∵直角△OBC中，∠ABC=45°，
∴OB=OC=3，即B的坐标是（3，0）．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{b=2}\end{array}\right.$；
（2）二次函数的解析式是y=-x²+2x+3，
设BC的解析式是y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
则直线BC的解析式是y=-x+3，△OBC是等腰直角三角形．
把x=t代入y=-x²+2x+3得y=-t²+2t+3，即P的纵坐标是-t²+2t+3，
把x=t代入y=-x+3，得y=-t+3，即Q的纵坐标是-t+3．
则PQ=（-t²+2t+3）-（-t+3）=-t²+3t，
则d=$\sqrt{2}$PQ，即d=-$\sqrt{2}$t²+3$\sqrt{2}$t；
（3）延长PM交y轴于点H，延长PN交x轴于点K．
A的坐标是（-1，0），P的坐标是（t，-t²+2t+3），
∵在直角△PAK中，tan∠PAK=$\frac{-{t}^{2}+2t+3}{t+1}$=3-t，
在直角△AOD中，∠DAO=$\frac{OD}{OA}$=$\frac{OD}{1}$，
∴3-t=$\frac{OD}{1}$，
∴OD=3-t，
∴CD=3-（3-t）=t．
∵△CMD是等腰直角三角形，
∴MH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$t．
∵PH=MH+PM，
∴t=$\frac{1}{2}$t+（-t²+3t）．
∴t=$\frac{5}{2}$或0（舍去）．
∴PM=-（$\frac{5}{2}$）2+3×$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{4}$，
PM=$\frac{5}{4}$，CM=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，PK=$\frac{7}{4}$．
∵二次函数的解析式是y=-x²+2x+3的顶点E的坐标是（1，4）．
∴点E到PM的距离是4-$\frac{7}{4}$=$\frac{9}{4}$，
过E作EQ⊥y轴于点Q，连接EM．
∵EQ=QC=1，
∴△EQC和△HMC都是等腰直角三角形，
∴EC=$\sqrt{2}$，∠ECM=90°，
∴S_{四边形CMPE}=S_△ECM+S_△EMP=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{5\sqrt{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{4}$×$\frac{9}{4}$=$\frac{85}{32}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及图形的面积的计算，在（3）中正确求得t的值是解题的关键．