Question

【题目】如图1，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上(点A与点B不重合），我们定义：这样的两条抛物L1，L2互为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条.

（1）如图2，已知抛物线L3：y＝2x2－8x＋4与y轴交于点C，试求出点C关于该抛物线对称轴对称的点D的坐标；

（2）请求出以点D为顶点的L3的友好抛物线L4的解析式，并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；

（3）若抛物y＝a1 (x－m) 2＋n的任意一条友好抛物线的解析式为y＝a2 (x－h) 2＋k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）点D坐标（4，4）；（2）L4的解析式y＝－2(x－4) 2＋4，当2≤x≤4时，抛物线L3与L4中y同时随x增大而增大；（3）a1与a2的关系式为a1＋a2＝0或a1＝－a2，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）设x=0，求出y的值，即可得到C的坐标，把抛物线L3：y=2x2-8x+4配方即可得到抛物线的对称轴，由此可求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；

（2）由（1）可知点D的坐标为（4，4），再由条件以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，可求出L4的解析式，进而可求出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；

（3）根据：抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上，可以列出两个方程，相加可得（a1+a2）（h-m）2=0．可得a1=-a2．

试题解析：（1）∵抛物线L3:y=2x28x+4，

∴y=2(x2)24，

∴顶点为(2,4)，对称轴为x=2，

设x=0，则y=4，

∴C(0,4)，

∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：(4,4)；

（2）∵以点D(4,4)为顶点的L3的友好抛物线L4还过点(2,4)，

L4的解析式y＝－2(x－4) 2＋4，

由图象可知，当2≤x≤4时，抛物线L3与L4中y同时随x增大而增大；

（3）a1与a2的关系式为a1＋a2＝0或a1＝－a2.

理由如下：

∵抛物线y＝a1 (x－m) 2＋n的一条“友好”抛物线的解析式为y＝a2 (x－h) 2＋k，

∴y＝a2 (x－h) 2＋k过点（m，n），且y＝a1 (x－m) 2＋n过点（h，k），

即

由①＋②得(a1＋a2) (h－m) 2＝0.

又“友好”抛物线的顶点不重合，

∴h≠m，

∴a1＋a2＝0或a1＝－a2.