Question

【题目】如图，AC为正方形ABCD的对角线，点E为DC边上一点（不与C、D重合），连接BE，以E为旋转中心，将线段EB逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．

（1）请在图中补全图形．

（2）求证：AC∥DF．

（3）探索线段ED、DF、AC的数量关系，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DF+ED=AC，见解析

【解析】

（1）由题意直接根据旋转的定义，进行作图即可；

（2）根据题意作FG⊥CD，交CD的延长线于点G，证△BCE≌△EGF得BC=EG，CE=FG，由BC=CD知CE=DG．从而得DG=FG，据此知∠FDG=45°，继而得出∠3=∠4=45°，从而得证；

（3）根据题意由∠3=45°知AC=DC．由∠DFG=45°知DF=CE，结合CD=CE+DE=DE+EG得CD=DE+DF，从而知AC=DC=（DE+DF）=DF+ED．

解：（1）如图1所示，

（2）证明：理由如下：

如上图，过点F作FG⊥CD，交CD的延长线于点G．

∴∠BEF=90°，

∴∠2+∠BEC=90°，

∵∠1+∠BEC=90°，

∴∠2=∠1，

∵BE=EF，∠BCD=∠FGE，

∴△BCE≌△EGF（AAS），

∴BC=EG，CE=FG，

又∵BC=CD，

∴CE=DG，

∴DG=FG，

∴∠FDG=45°，

∴∠3=∠4=45°，

∴AC∥DF．

（3）线段ED、DF、AC的数量关系为：DF+ED=AC，

理由如下：在Rt△ABC中∠3=45°，

因此AC=DC．

∵CD=CE+DE=DE+EG，

在Rt△ABC中∠DFG=45°，DF=CE，即，

∴CD=CE+DE=DE+DF，

∴AC=DC=（DE+DF）=DF+ED．