Question

1．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，DE∥AB，AE∥BC，连接AD，EC．
（1）求证：△ADC≌△ECD；
（2）若BD=CD，判断四边形ADCE的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用SAS证得△ACD≌△ECD；
（2）当点D是BC中点时，四边形ADCE是矩形；首先证得四边形ADCE是平行四边形，然后证得AD⊥BC即可利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定矩形．

解答 证明：（1）∵AB∥DE，AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，
∵AB=AC，
∴AC=DE，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠EDC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACD，
∴∠EDC=∠ACD，
在△ACD与△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=AC}\\{∠EDC=∠ACD}\\{DC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴AD=EC；                                                 
（2）当BD=CD时，四边形ADCE是矩形．
理由如下：∵AB=AC，点D是BC中点，
∴BD=DC，AD⊥BC，
由平移性质可知 四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，AE∥BD，
∴AE=DC，AE∥DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD⊥BC，
∴四边形ADCE是矩形．

点评 本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，能够正确的结合图形理解题意是解答本题的关键，难度不大．