Question

2．如图，AB是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，半径0D⊥AC于G．弦DE⊥AB于K，交AC于H．
（1）求证：AC=DE；
（2）求证：DH=AH；
（3）若DH=5，HE=11，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理得到$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，$\widehat{AD}=\widehat{AE}$，于是得到$\widehat{DE}=\widehat{AC}$，即可得到结论；
（2）由$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，$\widehat{AD}=\widehat{AE}$，等量代换得到$\widehat{CD}=\widehat{AE}$，根据圆周角定理得到∠DAH=∠ADH，于是得到结论；
（3）连接AE，根据垂径定理得到DK=8，通过△ADE∽△ADH，得到$\frac{AD}{DE}=\frac{DH}{AD}$，求出AD=$\sqrt{DE•DH}$=4$\sqrt{5}$，由勾股定理得到AK=$\sqrt{A{D}^{2}-D{K}^{2}}$=4，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵半径0D⊥AC于G，
∴$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，
∵DE⊥AB于K，
∴$\widehat{AD}=\widehat{AE}$，
∴$\widehat{DE}=\widehat{AC}$，
∴AC=DE；

（2）证明：∵$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，$\widehat{AD}=\widehat{AE}$，
∴$\widehat{CD}=\widehat{AE}$，
∴∠DAH=∠ADH，
∴DH=AH；

（3）解：连接AE，
∵DH=5，HE=11，
∴DE=16，
∴DK=8，
∵∠AED=∠DAC，∠ADH=∠ADE，
∴△ADE∽△ADH，
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{DH}{AD}$，
∴AD=$\sqrt{DE•DH}$=4$\sqrt{5}$，
∴AK=$\sqrt{A{D}^{2}-D{K}^{2}}$=4，
∵OD²=OK²+DK²，
即OD²=（OD-4）²+8²，
解得：OD=10，
∴⊙O的半径=10．

点评 本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．