Question

【题目】已知抛物线y= x2+1（如图所示）．

（1）填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ），对称轴是；
（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）0；1；x=0（或y轴）
（2）

解：∵△PAB是等边三角形，

∴∠ABO=90°﹣60°=30°．

∴AB=20A=4．

∴PB=4．

解法一：把y=4代入y= x2+1，

得 x=±2 ．

∴P1（2 ，4），P2（﹣2 ，4）．

解法二：∴OB= =2

∴P1（2 ，4）．

根据抛物线的对称性，得P2（﹣2 ，4）

（3）

解：∵点A的坐标为（0，2），点P的坐标为（2 ，4）

∴设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b

∴

解得：

∴解析式为：y= x+2

设存在点N使得OAMN是菱形，

∵点M在直线AP上，

∴设点M的坐标为：（m， m+2）

如图，作MQ⊥y轴于点Q，则MQ=m，AQ=OQ﹣OA= m+2﹣2= m

∵四边形OAMN为菱形，

∴AM=AO=2，

∴在直角三角形AMQ中，AQ2+MQ2=AM2，

即：m2+（ m）2=22

解得：m=±

代入直线AP的解析式求得y=3或1，

当P点在抛物线的右支上时，分为两种情况：

当N在右图1位置时，

∵OA=MN，

∴MN=2，

又∵M点坐标为（ ，3），

∴N点坐标为（ ，1），即N1坐标为（ ，1）．

当N在右图2位置时，

∵MN=OA=2，M点坐标为（﹣ ，1），

∴N点坐标为（﹣ ，﹣1），即N2坐标为（﹣ ，﹣1）．

当P点在抛物线的左支上时，分为两种情况：

第一种是当点M在线段PA上时（PA内部）我们求出N点坐标为（﹣ ，1）；

第二种是当M点在PA的延长线上时（在第一象限）我们求出N点坐标为（ ，﹣1）

∴存在N1（ ，1），N2（﹣ ，﹣1）N3（﹣ ，1），N4（ ，﹣1）使得四边形OAMN是菱形

【解析】解：（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x=O）．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．