Question

【题目】如图，矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将它折叠，使点A与C重合，折痕EF交AD于E，交BC于F，交AC于O，连结AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）过E作EP⊥AD交AC于P，求证：AE2=AOAP；
（3）若AE=8，△ABF的面积为9，求AB+BF的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，

∴OA=OC∠AOE=∠COF=90°

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO

∴△AOE≌△COF（AAS）

∴OE=OF

∴四边形AFCE是菱形

（2）证明：∵EP⊥AD

∴∠AEP=90°，

∵∠AOE=90°，

∴∠AEP=∠AOE

∵∠EAO=∠EAP

∴△AOE∽△AEP

∴

∴AE2=AOAP

（3）解：∵四边形AFCE是菱形

∴AF=AE=8

在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2

∴AB2+BF2=82

∴（AB+BF）2﹣2ABBF=64①

∵△ABF的面积为9

∴

∴ABBF=18②

由①、②得：（AB+BF）2=100

∵AB+BF＞0

∴AB+BF=10

【解析】（1）当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，由OA=OC，得∠AOE=∠COF=90°，由题意得AD∥BC，∠EAO=∠FCO，可证明△AOE≌△COF，从而得出∴四边形AFCE是菱形． （2）由EP⊥AD，得∠AEP=90°，可证明△AOE∽△AEP，写出比例式 ，即可得出AE2=AOAP；（3）根据四边形AFCE是菱形，得出AF=AE=8，在Rt△ABF中，利用勾股定理得AB2+BF2=AF2 ， AB2+BF2=82 ， 即可得出（AB+BF）2﹣2ABBF=64①，根据△ABF的面积为9，可求得ABBF=18②，再由①、②得：（AB+BF）2=100，得出AB+BF=10．
【考点精析】掌握勾股定理的概念和矩形的性质是解答本题的根本，需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．