Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED，AC与ED相交于点F.

(1)求证：四边形AECD是平行四边形；

(2)试探究AB、CD之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由；若EA＝ED＝2，求此时菱形AECD的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）2

【解析】

根据已知条件，只要证明：AD=EC，AD∥EC即可.

根据已知条件，想办法证明：AB=DE，CD=DE即可.

假定四边形AECD为菱形时，根据菱形对角线知：AC⊥ED，又ED∥AB，故猜想AB⊥AC时，四边形AECD为菱形；求面积时由菱形面积公式：对角线乘积的一半即可求解.

解：(1)∵E是BC的中点，∴BE＝EC＝BC，

∵BC＝2AD，即AD=

∴AD＝BE=EC，又∵AD∥EC，

∴四边形AECD是平行四边形.

(2)由(1)知：四边形AECD是平行四边形.

∴AE＝CD，

又由已知有：AE＝ED，∴ED＝CD……①

∵AD＝BE，AD∥BE，

∴四边形ABED是平行四边形，

∴AB＝ED……②

结合①②可知

∴AB＝CD.

故AB和CD的数量关系为：AB=CD.

(3)当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形.

理由如下：∵四边形ABED是平行四边形，

∴AB∥DE，

∵AB⊥AC，∴ED⊥AC，

∵四边形AECD是平行四边形，

∴四边形AECD是菱形.

∵AE＝DE＝2，

∴EF＝DF＝1，

在Rt△AFE中，AF＝＝，AC＝2AF＝

∴.

故菱形AECD的面积为