Question

【题目】设都是实数，且．我们规定：满足不等式的实数的所有值的全体叫做闭区间、表示为．对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．

（1）反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；

（2）若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此一次函数的解析式；

（3）若实数满足.且，当二次函数是闭区间上的“闭函数”时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）是；理由见解析；（2）或；（3），．

【解析】

（1）根据反比例函数的单调区间进行判断；
（2）根据新定义运算法则列出关于系数k、b的方程组，通过解该方程组即可求得系数k、b的值；
（3）y=x2-2x=（x2-4x+4）-2=（x-2）2-2，所以该二次函数的图象开口方向向上，最小值是-2，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大．由于c＜d，且d＞2，所以分两种情况进行讨论：①c＜2＜d；②c≥2．

解：（1）是，由函数的图象可知，
当1≤x≤2020时，函数值y随着自变量x的增大而减小．
而当x=1时，y=2020；
x=2020，y=1，
故也有1≤y≤2020，
所以，函数是闭区间上[1，2020]的“闭函数”
（2）因为一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，
所以根据一次函数的图象与性质，
必有：①当k＞0时，
解得k=1，b=0，
∴一次函数的解析式为y=x．
②当k＜0时， ，
解得k=-1，b=m+n
∴一次函数的解析式为y=-x+m+n故一次函数的解析式为y=x或y=-x+m+n
（3）由于函数y=x2-2x的图象开口向上，且对称轴为x=2，顶点为（2，-2）
由题意根据图象，分以下两种情况讨论：
①当2≤c＜d时，必有x=c，时，y=c且x=d时，y=d即方程y=x2-2x=x必有两个不等的实数根，解得x1=0，x2=6，而0，6分布在2的两边，这与2≤c＜d矛盾，舍去；
②当c＜2＜d时，必有函数值y的最小值为-2，由于此二次函数是闭区间[c，d]上的“闭函数”，故必有c=-2，从而有[c，d]=[-2，d]．
而当x=-2时，y=6即得点（-2，6），又点（-2，6）关于对称轴x=2的对称点为（6，6），由“闭函数”的定义可知必有x=d时，y=d，即d2-2d=d，解得d1=0，d2=6，故可得c=-2，d=6符合题意，
综上所述，c=-2，d=6为所求的实数．