【题目】如图,二次函数的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0)两点,与y轴相交于点C(0,﹣4).
(1)求该二次函数的解析;
(2)若点P、Q同时从A点出发,以每秒1个单位长度的速度分别沿AB、AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.
①当点P运动到B点时,在x轴上是否存在点E,使得以A、E、Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请求出E点的坐标;若不存在,请说明理由.
②当P、Q运动到t秒时,△APQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请直接写出t的值及D点的坐标.
【答案】(1);(2)①存在满足条件的点E,点E的坐标为或或(﹣1,0)或(7,0);②,
【解析】
试题分析:(1)将A,B,C点坐标代入函数中,求得b、c,进而可求解析式;
(2)等腰三角形有三种情况,AE=EQ,AQ=EQ,AE=AQ.借助垂直平分线,画圆易得E大致位置,设边长为x,表示其他边后利用勾股定理易得E坐标;
(3)注意到P,Q运动速度相同,则△APQ运动时都为等腰三角形,又由A、D对称,则AP=DP,AQ=DQ,易得四边形四边都相等,即菱形.利用菱形对边平行且相等等性质可用t表示D点坐标,又D在E函数上,所以代入即可求t,进而D可表示.
试题解析:(1)∵二次函数的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0),C(0,﹣4).
∴,解得 ,;
①存在.如图1,过点Q作于D,此时,∵A(3,0),B(﹣1,0),C(0,﹣4),O(0,0),∵当点P运动到B点时,点Q停止运动,
Ⅰ、作AQ的垂直平分线,交AO于E,此时AE=EQ,即△AEQ为等腰三角形,设则 在中,解得
说明点E在轴的负半轴上;Ⅱ、以Q为圆心,AQ长半径画圆,交轴于E,此时1.Ⅲ、当时,2.当E在A点左边时,2.当E在A点右边时,综上所述,存在满足条件的点E,点E的坐标为或或(﹣1,0)或(7,0).
②如图2,D点关于PQ与A点对称,过点Q作,于F,
∴四边形AQDP为菱形,
∵D在二次函数
上,或(与A重合,舍去),
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【题目】下表是国外城市与北京的时差 (带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数)
城市 | 纽约 | 巴黎 | 东京 | 多伦多 |
时差(时) | ﹣13 | ﹣7 | +1 | ﹣12 |
如果现在东京时间是16:00,那么纽约时间是__.(以上均为24小时制)
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【题目】下列因式分解错误的是( )
A. 2ax-a=a(2x-1)B. x2-2x+1=(x-1)2
C. 4ax2-a=a(2x-1)2D. ax2+2ax-3a=a(x-1)(x+3)
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【题目】对平面上任意一点(a,b),定义f,g两种变换:f(a,b)=(a,﹣b).如f(1,2)=(1,﹣2);g(a,b)=(b,a).如g(1,2)=(2,1).据此得g(f(5,﹣9))=( )
A. (5,﹣9) B. (﹣9,﹣5) C. (5,9) D. (9,5)
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【题目】已知,如图,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACD=∠DCE=90°,D为AB边上一点.求证:(1)BD=AE.(2)若线段AD=5,AB=17,求线段ED的长。
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