【题目】如图,在平面直角坐标系中,、
分别为
轴、
轴正半轴上的点,以
、
为边,在一象限内作矩形
,且
.将矩形
翻折,使点
与原点重合,折痕为
,点
的对应点
落在第四象限,过
点的反比例函数
,其图象恰好过
的中点,则点的
坐标为________.
【答案】(,
).
【解析】
连接BO与MN交于点Q,过点Q作QG⊥x轴,垂足为G,可通过三角形全等证得BO与MN的交点就是MN的中点Q,由相似三角形的性质可得S△OGN= S△OCB,根据反比例函数比例系数的几何意义可求出k,从而求出S△OAM,进而可以得到AB=4AM,即BM=3AM.由轴对称的性质可得OM=BM,从而得到OM=3AM,也就有AO=2
AM,根据△OAM的面积可以求出AM,OA的值.易证四边形OAEH为矩形,从而得到MH=OA,就可求出MH的值,问题得解.
解:连接BO与MN交于点Q,过点Q作QG⊥x轴,垂足为G,如图所示,
∵矩形OABC沿MN翻折,点B与点O重合,
∴BQ=OQ,BM=MO.
∵四边形OABC是矩形,
∴AB∥CO,∠BCO=∠OAB=90°.
∴∠MBQ=∠NOQ.
在△BMQ和△ONQ中, .
∴△BMQ≌△ONQ(ASA).
∴MQ=NQ.
∴点Q是MN的中点.
∵∠QGO=∠BCO=90°,
∴QG∥BC.
∴△OGQ∽△OCB.
∴.
∵S矩形OABC= ,
∴S△OCB=S△OAB=.
∴.
∵点Q在反比例函数y=上,
∴,解得:
.
∴S△OAM= .
∵S△OAB= ,
∴AB=4AM.
∴BM=3AM.
由轴对称的性质可得:OM=BM.
∴OM=3AM.OA=
∴S△OAM=AOAM=
×2
AM×AM=
.
解得:AM=.
∴OA=2×
=
.
∴M点坐标为(,
).
故答案为:(,
).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在中,
,
,
.动点
分别从点
同时出发,点
以每秒1个单位的速度沿
匀速运动.点
沿折线
向终点
匀速运动,在
上的速度分别是每秒
个单位、每秒2个单位.当点
停止时,点
也随之停止运动.连按
,将
绕着点
逆时针旋转
得到
,连按
,设点
的运动时间为
.
(1)用含的代数式表示
的长.
(2)当点与
的顶点重合时,求
的长.
(3)设的面积为
,求
与
之间的函数关系式.
(4)点出发后,当
与
的边所夹的角被
平分时,直按写出
的值.
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【题目】已知二次函数的图象经过点
.
(1)当时,若点
在该二次函数的图象上,求该二次函数的表达式;
(2)已知点,
在该二次函数的图象上,求
的取值范围;
(3)当时,若该二次函数的图象与直线
交于点
,
,且
,求
的值.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知四边形ABCD是菱形,BC∥x轴,点B的坐标是(1,),坐标原点O是AB的中点.动圆⊙P的半径是
,圆心在x轴上移动,若⊙P在运动过程中只与菱形ABCD的一边相切,则点P的横坐标m 的取值范围是_________.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上不同于A、B的两点,∠ABD=2∠BAC,连接CD,过点C作CE⊥DB,垂足为E,直径AB与CE的延长线相交于F点.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)当BD=,sinF=
时,求OF的长.
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【题目】已知:如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数
的图象交于一、三象限内的
,
两点,与
轴交于
点,点
的坐标为
,点
的坐标为
,
.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)直接写出关于的不等式
的解集;
(3)连接,求
的面积.
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【题目】如图1,已知抛物线过点
.
(1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标;
(2)设点D是x轴上一点,当时,求点D的坐标;
(3)如图2.抛物线与y轴交于点E,点P是该抛物线上位于第二象限的点,线段PA交BE于点M,交y轴于点N,和
的面积分别为
,求
的最大值.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为BC的中点,BC=2AD,EA=ED,AC与ED相交于点F.
(1)求证:四边形AECD是平行四边形;
(2)试探究AB、CD之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)当AB与AC具有什么位置关系时,四边形AECD是菱形?请说明理由;若EA=ED=2,求此时菱形AECD的面积.
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