【题目】在中,
,
,
.动点
分别从点
同时出发,点
以每秒1个单位的速度沿
匀速运动.点
沿折线
向终点
匀速运动,在
上的速度分别是每秒
个单位、每秒2个单位.当点
停止时,点
也随之停止运动.连按
,将
绕着点
逆时针旋转
得到
,连按
,设点
的运动时间为
.
(1)用含的代数式表示
的长.
(2)当点与
的顶点重合时,求
的长.
(3)设的面积为
,求
与
之间的函数关系式.
(4)点出发后,当
与
的边所夹的角被
平分时,直按写出
的值.
【答案】(1);(2)
或1;(3)当
时,
;当
时,
;(4)
或
或
【解析】
(1)由直角三角形的性质得出AB=2AC=2,BC=ACtan60°=,求出0<t≤
,得出PB=AB-AP=2-t(0<t≤
);
(2)由旋转的性质得出△PQD是等边三角形,①当点D与点C重合时,由等边三角形的性质得出∠PCQ=60°,得出∠ACP=90°-∠PCQ=30°,求出∠APC=90°,由三角函数即可得出答案; ②当点D与点A重合时,由等边三角形的性质得出此时点Q与点C重合,得出PQ=AC=1即可;
(3)分情况讨论①当时,过点Q作QH⊥AB于H,则
求出
得出
由勾股定理得出
即可得出答案;
②当 时,过点Q作QH⊥AB于H,则
得出
由勾股定理得出
即可得出答案;
(4)①当PQ平分∠DPB时;②当PQ平分∠DQB时;③当PQ平分DQC时;求出t的值即可.
解:(1)∵Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,
∴∠B=30°,
∴AB=2AC=2,BC=ACtan60°=,
∵点P以每秒1个单位的速度沿A→B匀速运动,
∴点P到点B用的时间为:=2(秒),
∵点Q沿折线BC→CA向终点A匀速运动,
在BC、CA上的速度分别是每秒个单位,每秒2个单位,
∴点Q与点C重合时,用的时间为:=1(秒),
点Q从点C运动到点A用的时间为:(秒),
∵当点Q停止时,点P也随之停止运动,
∴0<t≤,
∴PB=AB-AP=2-t(0<t≤);
(2))∵将PQ绕着点P逆时针旋转60°了得到PD,
∴△PQD是等边三角形, 分情况讨论:
①当点与点
重合时
∵△PQD是等边三角形, ∴∠PCQ=60°,
∴∠ACP=90°-∠PCQ=90°-60°=30°,
∵∠A=60°,
∴∠APC=180°-∠A-∠ACP=180°-60°-30°=90°,
∴PQ=PC=ACsin60°=
②当点D与点A重合时,如图2所示:
∵△PQD是等边三角形,∠A=60°,
∴此时点Q与点C重合,
∴PQ=AC=1;
综上所述,当点D与△ABC的顶点重合时,PQ的长为或1;
(3)分情况讨论:
①当时,过点Q作QH⊥AB于H,如图3所示:
则QH=BQ=
BH=BQcos30°=
PH=PB-BH=
②当时,
过点Q作QH⊥AB于H,如图4所示:
则AQ=
QH=AQsin60°=
∴PH=AP-AH=
∴
∴
(4))①当PQ平分∠DPB时,如图5所示: 则∠QPB=∠DPQ=60°,
∴∠BQP=180°-∠QPB-∠B=180°-60°-30°=90°,
∴BQ=sin60°PB,即
解得:
②当PQ平分∠DQB时,如图6所示: 则∠PQB=∠DPQ=60°,
∴∠BPQ=180°-∠PQB-∠B=180°-60°-30°=90°,
∴PB=sin60°BQ,即
解得:.
③当PQ平分∠DQC时,如图7所示: 则点Q与点A重合,∠CAP=∠DAP=60°,
此时,
综上所述,当△ABC与△PQD的边所夹的角被PQ平分时,t的值为或
或
.
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【题目】如图,抛物线交
轴于点
,交
轴于点
,抛物线顶点为
,下列四个结论:①无论
取何值,
恒成立;②当
时,
是等腰直角三角形;③若
则
;④抛物线上有两点
和
,若
,且
,则
.其中正确的结论是( )
A.①②④B.②③④C.①②D.①③
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【题目】科技发展,社会进步,中国已进入特色社会主义新时代,为实现“两个一百年”奋斗目标和中华民族伟大复兴的中国梦,需要人人奋斗,青少年时期是良好品格形成和知识积累的黄金时期,为此,大数据平台针对部分中学生品格表现和学习状况进行调查统计绘制如下统计图表,请根据图中提供的信息解决下列问题,类别:品格健全,成绩优异;
尊敬师长,积极进取;
自控力差,被动学习;
沉迷奢玩,消极自卑.
(1)本次调查被抽取的样本容量为 ;
(2)“自控力差,被动学习”的同学有 人,并补全条形统计图;
(3)样本中类所在扇形的圆心角为 度;
(4)东至县城内某中学有在校学生3330人,请估算该校类学生人数.
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【题目】如图所示,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上.
(1)将△ABC向下平移5个单位再向右平移1个单位后得到对应的△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2;
(3)P(a,b)是△ABC的边AC上一点,请直接写出经过两次变换后在△A2B2C2中对应的点P2的坐标.
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【题目】图①、图②都是的正方形网格,每个小正方形的顶点叫做格点.
的顶点都在格点上,仅用无刻度的直尺,分别按下列要求画图,保留作图痕迹.
(1)在图①中过点作
面积两等分的射线.
(2)在图②中过点作所有将
面积分成1:2的两部分的射线.
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【题目】如图,直线与
轴,
轴分别交于
两点,与反比例函数
交于点
点
的坐标为
轴于点
.
(1)点的坐标为 ;
(2)若点为
的中点,求反比例函数
的解析式;
(3)在(2)条件下,以为边向右作正方形
交
于点
直接写出
的周长与
的周长的比.
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【题目】已知四边形中,
,
,
,
,
,将
绕点
旋转,它的两边分别交边
、
(或它们的延长线)于点
、
.
(1)当绕点
旋转到
时(如图1),
①求证:;
②求证:;
(2)当绕点
旋转到如图2所示的位置时,
,此时,(1)中的两个结论是否还成立?请直接回答.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣4,0)和点B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴是x=﹣1与x轴交于点D.
(1)求拋物线的函数表达式;
(2)若点P(m,n)为抛物线上一点,且﹣4<m<﹣1,过点P作PE∥x轴,交抛物线的对称轴x=﹣1于点E,作PF⊥x轴于点F,得到矩形PEDF,求矩形PEDF周长的最大值;
(3)点Q为抛物线对称轴x=﹣1上一点,是否存在点Q,使以点Q,B,C为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,、
分别为
轴、
轴正半轴上的点,以
、
为边,在一象限内作矩形
,且
.将矩形
翻折,使点
与原点重合,折痕为
,点
的对应点
落在第四象限,过
点的反比例函数
,其图象恰好过
的中点,则点的
坐标为________.
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