Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣4，0)和点B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是x=﹣1与x轴交于点D．

（1）求拋物线的函数表达式；

（2）若点P(m，n)为抛物线上一点，且﹣4＜m＜﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线的对称轴x=﹣1于点E，作PF⊥x轴于点F，得到矩形PEDF，求矩形PEDF周长的最大值；

（3）点Q为抛物线对称轴x=﹣1上一点，是否存在点Q，使以点Q，B，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+8；（2）当m=﹣时，矩形PEDF的周长有最大值是；（3）存在，点Q (﹣1，)或(﹣1，﹣)或(﹣1，4+)或(﹣1，4﹣)．

【解析】

（1）根据抛物线对称轴公式求b的值，然后将A点坐标代入解析式求c的值，从而求解；

（2）设P点坐标为(m，n)，由题意n═﹣m2﹣2m+8，从而表示出矩形周长的函数关系式，然后利用二次函数的性质求最值；

（3）设Q(﹣1，y)，结合图形用勾股定理分别表示出QB2 =9+y2，QC2=1+(y﹣8)2，BC2=68，然后分∠QCB=90°，∠QBC=90°，∠BQC=90°三种情况列方程求解，从而确定点Q坐标．

解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴是x=﹣1，

∴﹣=﹣1，b=﹣2，

∴y=﹣x2﹣2x+c，

把A(﹣4，0)代入得：﹣16+8+c=0，∴c=8，

∴拋物线的函数表达式为：y=﹣x2﹣2x+8；

（2）∵点P(m，n)为抛物线上一点，且﹣4＜m＜﹣1，如图1，

，

∴n═﹣m2﹣2m+8．

∵四边形PEDF是矩形，

∴矩形PEDF的周长=2PE+2PF

=2(﹣1﹣m)+2(﹣m2﹣2m+8)

=﹣2m2﹣6m+14

=﹣2(m+)2+．

∵﹣2＜0，∴当m=﹣时，矩形PEDF的周长有最大值是；

（3）存在点Q，使以点Q，B，C为顶点的三角形是直角三角形．

∵点Q为抛物线对称轴x=﹣1上一点，∴设Q(﹣1，y)，

由对称得：B(2，0)．

∵C(0，8)，

∴QB2=(2+1)2+y2=9+y2，QC2=(﹣1)2+(y﹣8)2=1+(y﹣8)2，BC2=22+82=4+64=68，

分三种情况：

①当∠QCB=90°时，QB是斜边，∴QB2=QC2+BC2，∴9+y2=1+(y﹣8)2+68

解得：y=，

∴Q(﹣1，)；

②当∠QBC=90°时，QC是斜边．

∵QC2=BC2+QB2，∴1+(y﹣8)2=68+9+y2，

解得：y=﹣，

∴Q(﹣1，﹣)；

③当∠BQC=90°时，BC是斜边．

∵BC2=BQ2+QC2，∴68=1+(y﹣8)2+9+y2，

解得：y=4±，∴Q(﹣1，4+)或(﹣1，4﹣)；

综上，点Q的坐标是(﹣1，)或(﹣1，﹣)或(﹣1，4+)或(﹣1，4﹣)．