Question

【题目】如图，抛物线交轴于点，交轴于点，抛物线顶点为，下列四个结论：①无论取何值，恒成立；②当时，是等腰直角三角形；③若则；④抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的结论是（ ）

A.①②④B.②③④C.①②D.①③

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据抛物线解析式可知C（0，t），把解析式配方可得顶点D（1，t-1），根据两点间距离公式可对①进行判断；当t=0时，根据抛物线解析式可得A、B、D三点坐标，利用两点间距离公式求出AD、BD、AB的长，根据勾股定理逆定理即可对②进行判定；根据抛物线解析式可得对称轴为直线x=1，根据二次函数的对称性即可对③进行判定；由可得x1-1＞1-x2，根据x1、x2的取值范围可比较两点与对称轴的距离的远近，根据二次函数的性质可对④进行判定；综上即可得答案．

∵=(x-1)2+t-1，

∴顶点D坐标为（1，t-1），对称轴为直线x=1，

当x=0时，y=t，

∴点C坐标为（0，t），

∴CD==，

∴无论取何值，恒成立，故①正确，

当t=0时，方程为y=x2-2x，顶点D坐标为（1，-1），

令y=0，则x2-2x=0，

解得：x1=0，x2=2，

∴A（0，0），B（2，0），

∵A、B关于对称轴x=1对称，

∴△ABD是等腰三角形，AD=BD==，AB=2，

∵（）2+（）2=22，

∴AD2+BD2=AB2，

∴△ABD是直角三角形，

∴△ABD是等腰直角三角形，故②正确，

∵A（a，0），B（b，0）根据对称轴x=1对称，

∴当a=-1时，b=3，故③错误，

∵，

∴x1-1＞1-x2，

∵，

∴x1-1＜0，1-x2＜0，

∴|x1-1|＜|1-x2|，

∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，

∵1＞0，

∴抛物线的开口向上，

∴y1＜y2，故④正确，

综上所述：正确的结论有①②④，

故选：A．