Question

【题目】如图，在正方形中，，交、于、，交于、．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）求证：．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

（1）易证∠BAG=∠AHD，∠ABD=∠ADB=45°，即可证明△ABG∽△HDA，可得，即可得出结论；
（2）首先连接AC，由正方形ABCD，∠EAF=45゜，易证得∠ACE=∠ADN=∠CAD=45°，AC=AD，继而可得∠EAC=∠NAD，则可证得△EAC∽△NAD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
（3）根据两边的比相等，且夹角相等证明△GAH∽△EAF，得＝，所以EF=GH．

证明：（1）∵四边形ABCD为正方形
∴∠ABD=∠ADB=45°，AB=AD，
∵∠EAF=45°
∴∠BAG=45°+∠BAH，∠AHD=45°+∠BAH，
∴∠BAG=∠AHD，
又∵∠ABD=∠ADB=45°，
∴△ABG∽△HDA，
∴，
∴BGDH=ABAD=AD2；

（2）如图，连接AC，

∵四边形ABCD是正方形
∴∠ACE=∠ADB=∠CAD=45°，
∴AC=AD，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠CAD，
∴∠EAF-∠CAF=∠CAD-∠CAF，
∴∠EAC=∠GAD，
∴△EAC∽△GAD，
∴＝，
∴CE=DG；
（3）由（2）得：△EAC∽△GAD，
∴ ＝，
同理得：△AFC∽△AHB，
∴ ＝，
∴＝，
∴，
∵∠GAH=∠EAF，
∴△GAH∽△EAF，
∴＝，
∴EF=GH．