Question

【题目】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．

求这条抛物线的顶点坐标；

已知(点在线段上)，有一动点从点沿线段以每秒个单位长度的速度移动：同时另一个点以某一速度从点沿线段移动，经过的移动，线段被垂直平分，求的值；

在的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点,使的值最小?若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)存在，见解析

【解析】

（1）已知抛物线的2点，代入可直接求解；

（2）根据A、B的坐标，得出AD、AB的长，通过推导可证，利用相似得到的比例线段即可求得DQ、PD的长，从而得出t；

（3）根据轴对称的最短路径先作C关于对称轴的对称点，即点A，连接AO与对称轴的交点即为点M．

（1）抛物线与轴交于两点

解这个方程组，得

抛物线的解析式为

这条抛物线的顶点坐标为

（2）点的坐标为

抛物线与轴交于点

点的坐标为

连接

线段被垂直平分

（3）存在

连接AQ交对称轴于M，此时MQ+MC为最小，过点Q作QN⊥x轴于点N

∵DQ∥AB，

∴∠QDN=∠BAC

sin∠QDN=sin∠BAC=

∴，

∴QN=

设直线BC的解析式为：y=kx+b

将点B(0，4)和点C(4，0)代入可求得：k=－1，b=4

∴直线BC的解析式为：y=－x+4

当y=时，x=

∴Q(，)

同理可得：AQ的解析式为：y=

当x=时，y=

∴M(，)