Question

【题目】如图①，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作正方形OABC，点D是x轴正半轴上一动点（OD＞1），连接BD，以BD为边在第一象限内作正方形DBFE，设M为正方形DBFE的中心，直线MA交y轴于点N．如果定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形．

（1）试找出图1中的一个损矩形；

（2）试说明（1）中找出的损矩形的四个顶点一定在同一个圆上；

（3）随着点D位置的变化，点N的位置是否会发生变化？若没有发生变化，求出点N的坐标；若发生变化，请说明理由；

（4）在图②中，过点M作MG⊥y轴于点G，连接DN，若四边形DMGN为损矩形，求D点坐标．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）N点的坐标为（0，﹣1）；（4）D点坐标为（3，0）．

【解析】

试题（1）根据题中给出的损矩形的定义，从图找出只有一组对角是直角的四边形即可；

（2）证明四边形BADM四个顶点到BD的中点距离相等即可；

（3）利用同弧所对的圆周角相等可得∠MAD=∠MBD，进而得到OA=ON，即可求得点N的坐标；

（4）根据正方形的性质及损矩形含有的直角，利用勾股定理求解．

(1)四边形ABMD为损矩形；

(2)取BD中点H，连结MH，AH

∵四边形OABC，BDEF是正方形

∴△ABD，△BDM都是直角三角形

∴HA=BD HM=BD

∴HA=HB=HM=HD=BD

∴损矩形ABMD一定有外接圆

(3)∵损矩形ABMD一定有外接圆⊙H

∴MAD =MBD

∵四边形BDEF是正方形

∴MBD=45°

∴MAD=45°

∴OAN=45°

∵OA=1

∴ON=1

∴N点的坐标为（0，-1）

(4) 延长AB交MG于点P，过点M作MQ⊥轴于点Q

设MG=，则四边形APMQ为正方形

∴PM=AQ=-1 ∴OG=MQ=-1

∵△MBP≌△MDQ

∴DQ=BP=CG=-2

∴MN2

ND2

MD2

∵四边形DMGN为损矩形

∴

∴

∴=2.5或=1(舍去)

∴OD=3

∴D点坐标为(3，0).