【题目】在平面直角坐标系中,抛物线与y轴的交点为A,与x轴的正半轴分别交于点B(b,0),C(c,0).
(1)当b=1时,求抛物线相应的函数表达式;
(2)当b=1时,如图,E(t,0)是线段BC上的一动点,过点E作平行于y轴的直线l与抛物线的交点为P.求△APC面积的最大值;
(3)当c =b+ n.时,且n为正整数.线段BC(包括端点)上有且只有五个点的横坐标是整数,求b的值.
【答案】(1)y=﹣6x+5;(2)当t=时,面积S有最大值;(3)1或.
【解析】试题分析:(1)当b=1时,将点B(1,0)代入抛物线y=﹣6mx+5中求出m,即可解决问题.
(2)如图1中,直线AC与PE交于点F.切线直线AC的解析式,构建二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题.
(3)分两种情形①当b整数时,n为整数,可知n=4,c=b+4.则b,b+4是方程x2﹣mx+5=0的两个根,分别代入方程中求解即可,②当b小数时,n为整数,∴n=5,c=b+5为小数,则b,b+5是方程﹣6x+5=0的两个根.
试题解析:(1)当b=1时,将点B(1,0)代入抛物线y=﹣6mx+5中,得m=1,
∴y=﹣6x+5;
(2)如图1中,直线AC与PE交于点F.
当b=1时,求得A(0,5),B(1,0),C(5,0),可得AC所在的一次函数表达式为y=﹣x+5,
∵E(t,0),
∴P (t,﹣6t+5),直线l与AC的交点为F(t,﹣t+5),
∴PF=(﹣t+5)﹣(﹣6t+5)=+5t,
∴==,
∵<0,
∴当t=时,面积S有最大值;
(3)①当b整数时,n为整数,
∴n=4,c=b+4.则b,b+4是方程﹣mx+5=0的两个根,分别代入方程中,
得﹣mb+5=0①,②,
由①②可得+4b﹣5=0,解得b=1或﹣5(舍);
或由一元二次方程根与系数的关系得 b(b+4)=5解得b=1或﹣5(舍).
②当b小数时,n为整数,∴n=5,c=b+5为小数,则b,b+5是方程﹣mx+5=0的两个根,同样可得b=或(舍弃);
∴b=1或.
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【题目】边长为4的正方形AOBC在坐标系中的位置如图所示,若OB边保持不动,推动AOBC向右倾斜30°得四边形DOBE,则点E的坐标为( )
A.(5,4)B.(6,2)C.(6,3)D.(4+2,5)
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【题目】 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.
(1)已知△ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足AC条件的长;
(2)如图,点A在以BC为直径的圆上,BD平分∠ABC,AD∥BC,∠ADC=90°.
①求证:△ABC为比例三角形;
②求的值.
(3)若以点C为顶点的抛物线y=mx2-4mx-12m(m<0)与x轴交于A、B两点,△ABC是比例三角形,若点M(x0,y0)为该抛物线上任意一点,总有n-≤-my02-40y0+298成立,求实数n的最大值.
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【题目】抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(﹣1,2),与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:①b2﹣4ac<0;②a+b+c<0;③c﹣a=2;④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论的个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】如图1,在中,AB=AC,∠ABC =,D是BC边上一点,以AD为边作,使AE=AD,+=180°.
(1)直接写出∠ADE的度数(用含的式子表示);
(2)以AB,AE为边作平行四边形ABFE,
①如图2,若点F恰好落在DE上,求证:BD=CD;
②如图3,若点F恰好落在BC上,求证:BD=CF.
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【题目】如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点C在x轴的负半轴上,点A在y轴正半轴上,矩形OABC的面积为8.把矩形OABC沿DE翻折,使点B与点O重合,点C落在第三象限的G点处,作EH⊥x轴于H,过E点的反比例函数y=图象恰好过DE的中点F.则k=_____,线段EH的长为:_____.
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【题目】小林在没有量角器和圆规的情况下,利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线,他的做法是这样的:如图,
①利用刻度尺在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON;
②利用两个三角板,分别过点M,N画OM,ON的垂线,交点为P;
③画射线OP.则射线OP为∠AOB的平分线.
(1)请写出射线OP为∠AOB的平分线的证明过程.
(2)请根据你的证明过程,写出小林的画法的依据______.
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